3. (2 pontos) a) Dado a função f(x)=x^18tg(3x) determine o valor da integral: int _(-(pi )/(3))^(pi )/(3)f(x)dx b) Calcule o valor da integral int _(-4)^4(vert x-3vert -sqrt (16-x^2))dx interpretando-a em termo de áreas de figuras geométricas conhecidas.

a) A função \( f(x) = x^{18} \tan(3x) \) é uma função ímpar, pois \( x^{18} \) é par e \( \tan(3x) \) é ímpar. O produto de uma função par com uma função ímpar resulta em uma função ímpar. Portanto, \( f(x) \) é ímpar.<br /><br />A integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em relação à origem é zero. Assim, temos:<br /><br />\[<br />\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} f(x) \, dx = 0<br />\]<br /><br />b) Para calcular a integral \(\int_{-4}^{4} (\vert x-3 \vert - \sqrt{16-x^2}) \, dx\), vamos interpretar cada parte da expressão em termos de áreas geométricas conhecidas.<br /><br />1. **Função \(\vert x-3 \vert\):**<br /><br /> A função \(\vert x-3 \vert\) representa duas retas: \(x-3\) para \(x \geq 3\) e \(-(x-3)\) para \(x < 3\). No intervalo \([-4, 4]\), podemos dividir a integral em duas partes: \([-4, 3]\) e \([3, 4]\).<br /><br /> - De \(-4\) a \(3\), a função é \(-(x-3)\).<br /> - De \(3\) a \(4\), a função é \(x-3\).<br /><br />2. **Função \(\sqrt{16-x^2}\):**<br /><br /> A função \(\sqrt{16-x^2}\) representa a semicircunferência superior de raio 4 centrada na origem. A área total do círculo completo seria \(\pi \times 4^2 = 16\pi\), então a área da semicircunferência é \(8\pi\).<br /><br />Agora, calculamos as integrais separadamente:<br /><br />- Integral de \(\vert x-3 \vert\):<br /><br /> \[<br /> \int_{-4}^{3} (-(x-3)) \, dx + \int_{3}^{4} (x-3) \, dx<br /> \]<br /><br /> Calculando cada parte:<br /><br /> \[<br /> \int_{-4}^{3} (-(x-3)) \, dx = \int_{-4}^{3} (-x+3) \, dx = \left[-\frac{x^2}{2} + 3x\right]_{-4}^{3}<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = \left(-\frac{9}{2} + 9\right) - \left(-\frac{16}{2} - 12\right) = \left(\frac{9}{2}\right) - \left(-20\right) = \frac{9}{2} + 20 = \frac{49}{2}<br /> \]<br /><br /> \[<br /> \int_{3}^{4} (x-3) \, dx = \left[\frac{x^2}{2} - 3x\right]_{3}^{4} = \left(\frac{16}{2} - 12\right) - \left(\frac{9}{2} - 9\right)<br /> \]<br /><br /> \[<br /> = (8 - 12) - \left(\frac{9}{2} - 9\right) = -4 - \left(\frac{9}{2} - 9\right) = -4 + \frac{9}{2} = -\frac{8}{2} + \frac{9}{2} = \frac{1}{2}<br /> \]<br /><br /> Somando as duas partes:<br /><br /> \[<br /> \frac{49}{2} + \frac{1}{2} = \frac{50}{2} = 25<br /> \]<br /><br />- Integral de \(\sqrt{16-x^2}\):<br /><br /> A área da semicircunferência de raio 4 é \(8\pi\).<br /><br />Finalmente, a integral original é:<br /><br />\[<br />\int_{-4}^{4} (\vert x-3 \vert - \sqrt{16-x^2}) \, dx = 25 - 8\pi<br />\]