14 ye^-x(dy)/(dx)+2=0;y(0)=2

Para resolver essa equação diferencial, podemos usar o método de separação de variáveis. Vamos reescrever a equação diferencial:<br /><br />\[ 14ye^{-x}\frac{dy}{dx} + 2 = 0 \]<br /><br />\[ 14ye^{-x}\frac{dy}{dx} = -2 \]<br /><br />\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{2}{14ye^{-x}} \]<br /><br />\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{7ye^{-x}} \]<br /><br />Agora, vamos separar as variáveis:<br /><br />\[ y'e^{-x} = -\frac{1}{7y} \]<br /><br />\[ y' = -\frac{e^x}{7y} \]<br /><br />\[ y \, dy = -\frac{e^x}{7} \, dx \]<br /><br />Agora, integramos ambos os lados:<br /><br />\[ \int y \, dy = -\frac{1}{7} \int e^x \, dx \]<br /><br />\[ \frac{y^2}{2} = -\frac{1}{7} e^x + C \]<br /><br />Onde \( C \) é a constante de integração. Agora, usamos a condição inicial \( y(0) = 2 \) para encontrar \( C \):<br /><br />\[ \frac{2^2}{2} = -\frac{1}{7} e^0 + C \]<br /><br />\[ 2 = -\frac{1}{7} + C \]<br /><br />\[ C = 2 + \frac{1}{7} \]<br /><br />\[ C = \frac{14}{7} + \frac{1}{7} \]<br /><br />\[ C = \frac{15}{7} \]<br /><br />Agora, substituímos \( C \) de volta na solução:<br /><br />\[ \frac{y^2}{2} = -\frac{1}{7} e^x + \frac{15}{7} \]<br /><br />\[ y^2 = -\frac{2}{7} e^x + \frac{30}{7} \]<br /><br />\[ y^2 = \frac{30 - 2e^x}{7} \]<br /><br />\[ y = \pm \sqrt{\frac{30 - 2e^x}{7}} \]<br /><br />Como \( y(0) = 2 \), escolhemos a solução positiva:<br /><br />\[ y = \sqrt{\frac{30 - 2e^x}{7}} \]<br /><br />Portanto, a solução da equação diferencial é:<br /><br />\[ y = \sqrt{\frac{30 - 2e^x}{7}} \]