Devido a oanha de conscientizaç a 0, 0 número de pess oas sedentárias de uma cidade vem diminuindo. Estima-se que, no início da campanha , 4 em cada 5 h abitantes eram sedentá ias, e que essa quantidade vem diminuindo em 10% ao ano. C aso essa tendência se m antenha, apos quantos anos do início da campanha apenas 1 em cada cinco habitantes será sedentário? Dado: se nece ssário, us e log2=0,30elog3= 0,48

Para resolver esse problema, podemos usar a fórmula de crescimento exponencial. A fórmula é dada por:<br /><br />\[ P(t) = P_0 \cdot (1 - r)^t \]<br /><br />Onde:<br />- \( P(t) \) é a quantidade de sedentárias após \( t \) anos.<br />- \( P_0 \) é a quantidade inicial de sedentárias.<br />- \( r \) é a taxa de diminuição por ano.<br />- \( t \) é o tempo em anos.<br /><br />No início da campanha, 4 em cada 5 habitantes eram sedentárias, ou seja, \( P_0 = \frac{4}{5} \). A taxa de diminuição é de 10% ao ano, ou seja, \( r = 0,10 \).<br /><br />Queremos encontrar o tempo \( t \) em que apenas 1 em cada 5 habitantes será sedentário, ou seja, \( P(t) = \frac{1}{5} \).<br /><br />Substituindo os valores na fórmula, temos:<br /><br />\[ \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \cdot (1 - 0,10)^t \]<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />\[ \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \cdot (0,90)^t \]<br /><br />Dividindo ambos os lados por \( \frac{4}{5} \), temos:<br /><br />\[ \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{4} = (0,90)^t \]<br /><br />\[ \frac{1}{4} = (0,90)^t \]<br /><br />Agora, podemos usar a propriedade dos logaritmos para resolver essa equação. Aplicando o logaritmo em ambos os lados, temos:<br /><br />\[ \log \left(\frac{1}{4}\right) = \log \left((0,90)^t\right) \]<br /><br />\[ \log \left(\frac{1}{4}\right) = t \cdot \log (0,90) \]<br /><br />\[ t = \frac{\log \left(\frac{1}{4}\right)}{\log (0,90)} \]<br /><br />Usando os valores fornecidos para \( \log 2 \) e \( \log 3 \), podemos calcular \( \log (0,90) \):<br /><br />\[ \log (0,90) = \log \left(\frac{9}{10}\right) = \log 9 - \log 10 = 2 \cdot \log 3 - 1 \]<br /><br />Substituindo esse valor na equação, temos:<br /><br />\[ t = \frac{\log \left(\frac{1}{4}\right)}{2 \cdot \log 3 - 1} \]<br /><br />\[ t = \frac{\log 1 - \log 4}{2 \cdot \log 3 - 1} \]<br /><br />\[ t = \frac{0 - 2 \cdot \log 2}{2 \cdot \log 3 - 1} \]<br /><br />\[ t = \frac{-2 \cdot \log 2}{2 \cdot \log 3 - 1} \]<br /><br />\[ t = \frac{-2 \cdot 0,30}{2 \cdot 0,48 - 1} \]<br /><br />\[ t = \frac{-0,60}{0,96 - 1} \]<br /><br />\[ t = \frac{-0,60}{-0,04} \]<br /><br />\[ t = 15 \]<br /><br />Portanto, após 15 anos do início da campanha, apenas 1 em cada 5 habitantes será sedentário.