7. Para que valores de "r" a série sum _(n=1)^infty (r^n)/(n) converge? vert rvert gt 1

série dada é uma série geométrica com o termo geral $\frac{r^n}{n}$. Para determinar os valores de "r" para os quais a série converge, podemos usar o critério de convergência da série geométrica.<br /><br />O critério de convergência da série geométrica afirma que uma série geométrica converge se o valor absoluto de seu termo geral for menor que 1. Neste caso, o termo geral é $\frac{r^n}{n}$.<br /><br />Para encontrar os valores de "r" para os quais a série converge, precisamos encontrar os valores de "r" para os quais $\left|\frac{r^n}{n}\right| < 1$.<br /><br />Podemos simplificar essa desigualdade dividindo ambos os lados por $n$:<br /><br />$\left|\frac{r^n}{n}\right| < 1 \implies \left|r^n\right| < n$<br /><br />Como $n$ tende ao infinito, podemos tomar a raiz n-ésima de ambos os lados da desigualdade:<br /><br />$\left|r\right| < \sqrt[n]{n}$<br /><br />Quando $n$ tende ao infinito, $\sqrt[n]{n}$ tende a 1. Portanto, a desigualdade se torna:<br /><br />$\left|r\right| < 1$<br /><br />Portanto, a série converge para todos os valores de "r" tais que $\left|r\right| < 1$.