Pergunta o (1 ponto) Resolvendo a equação diferencial 2y+(xy+3x)y'=0 separando as variávels obtém-se como solução a função implicita: Dica: Dividir todos os termos por xy! y=e^xy+3x y^3=(Ae^-y)/(x^2) y=xy+3x y=(2y)/(xy+3x) lnvert yvert =(c-y)/(lnvert xvert )

Para resolver a equação diferencial \(2y + (xy + 3x)y' = 0\), vamos seguir os passos de separação de variáveis:<br /><br />1. **Reescreva a equação:**<br /> \[<br /> 2y + (xy + 3x)\frac{dy}{dx} = 0<br /> \]<br /><br />2. **Isolando \(\frac{dy}{dx}\):**<br /> \[<br /> (xy + 3x)\frac{dy}{dx} = -2y<br /> \]<br /> \[<br /> \frac{dy}{dx} = -\frac{2y}{xy + 3x}<br /> \]<br /><br />3. **Dividindo todos os termos por \(xy\):**<br /> \[<br /> \frac{dy}{dx} = -\frac{2y}{xy + 3x} = -\frac{2y}{xy} - \frac{2y}{3x}<br /> \]<br /> \[<br /> \frac{dy}{dx} = -2 - \frac{2y}{3x}<br /> \]<br /><br />4. **Separando as variáveis:**<br /> \[<br /> \frac{dy}{-2 - \frac{2y}{3x}} = dx<br /> \]<br /><br />5. **Integrando ambos os lados:**<br /> \[<br /> \int \frac{dy}{-2 - \frac{2y}{3x}} = \int dx<br /> \]<br /><br />Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição. Vamos fazer \(u = -2 - \frac{2y}{3x}\), então \(du = -\frac{2}{3x} dy\).<br /><br />6. **Resolvendo para \(y\):**<br /> \[<br /> -\frac{3x}{2} du = dy<br /> \]<br /> \[<br /> \int \frac{-3x}{2u} du = \int dx<br /> \]<br /> \[<br /> -\frac{3x}{2} \ln|u| = x + C<br /> \]<br /> \[<br /> \ln|u| = \frac{2}{3x} (x + C)<br /> \]<br /> \[<br /> \ln|-2 - \frac{2y}{3x}| = \frac{2}{3} (x + C)<br /> \]<br /><br />7. **Exponenciando ambos os lados:**<br /> \[<br /> | -2 - \frac{2y}{3x} | = e^{\frac{2}{3} (x + C)}<br /> \]<br /> \[<br /> -2 - \frac{2y}{3x} = \pm e^{\frac{2}{3} (x + C)}<br /> \]<br /><br />8. **Isolando \(y\):**<br /> \[<br /> \frac{2y}{3x} = -2 \mp e^{\frac{2}{3} (x + C)}<br /> \]<br /> \[<br /> y = -3x \left( \frac{2}{3} \mp e^{\frac{2}{3} (x + C)} \right)<br /> \]<br /> \[<br /> y = -2x \mp 3xe^{\frac{2}{3} (x + C)}<br /> \]<br /><br />Portanto, a solução implícita da equação diferencial é:<br />\[<br />y = -2x \mp 3xe^{\frac{2}{3} (x + C)}<br />\]<br /><br />A resposta correta é:<br />\[<br />y = \frac{2y}{xy + 3x}<br />\]