P9) Calcule a área da região do plano delimitada pelas parábolas x^2=y x^2=2y,y^2=xey^2=2x usando a mudança de variável x^2=yu e y^2=xv

Para calcular a área da região delimitada pelas parábolas dadas, podemos usar as mudanças de variável sugeridas: \( x^2 = yu \) e \( y^2 = xv \).<br /><br />Primeiro, vamos entender as equações das parábolas:<br /><br />1. \( x^2 = y \)<br />2. \( x^2 = 2y \)<br />3. \( y^2 = x \)<br />4. \( y^2 = 2x \)<br /><br />As mudanças de variável são:<br />- \( x^2 = yu \) implica \( u = \frac{x^2}{y} \)<br />- \( y^2 = xv \) implica \( v = \frac{y^2}{x} \)<br /><br />Agora, precisamos encontrar os limites de integração para \( u \) e \( v \). As equações originais podem ser reescritas em termos de \( u \) e \( v \):<br /><br />- Para \( x^2 = y \), temos \( u = 1 \).<br />- Para \( x^2 = 2y \), temos \( u = 2 \).<br />- Para \( y^2 = x \), temos \( v = 1 \).<br />- Para \( y^2 = 2x \), temos \( v = 2 \).<br /><br />A região de integração no plano \( (u, v) \) é então um retângulo com \( 1 \leq u \leq 2 \) e \( 1 \leq v \leq 2 \).<br /><br />A área da região no plano \( (u, v) \) é simplesmente a área do retângulo, que é dada por:<br /><br />\[<br />\text{Área} = (2 - 1) \times (2 - 1) = 1<br />\]<br /><br />Portanto, a área da região delimitada pelas parábolas no plano original é 1.