76. Dada a PG(6,48,384,ldots ) determine a soma dos cinco primeiros termos. 77. Calcule a soma dos seis primeiros termos da PG de pri- meiro termo (4)/(5) e razão (1)/(2)

76. Para determinar a soma dos cinco primeiros termos de uma progressão geométrica (PG), podemos usar a fórmula da soma dos termos de uma PG:<br /><br />\[ S_n = \frac{{a_1 \cdot (r^n - 1)}}{{r - 1}} \]<br /><br />Onde:<br />- \( S_n \) é a soma dos primeiros \( n \) da PG.<br />- \( a_1 \) é o primeiro termo da PG.<br />- \( r \) é a razão da PG.<br />- \( n \) é o número de termos que queremos somar.<br /><br />No caso da PG dada \( PG(6, 48, 384, \ldots) \), podemos identificar que:<br />- \( a_1 = 6 \) (primeiro termo)<br />- \( r = \frac{48}{6} = 8 \) (razão)<br /><br />Agora, podemos substituir esses valores na fórmula da soma dos termos:<br /><br />\[ S_5 = \frac{{6 \cdot (8^5 - 1)}}{{8 - 1}} \]<br /><br />Calculando essa expressão, encontramos:<br /><br />\[ S_ \frac{{6 \cdot (32768 - 1)}}{{7}} \]<br />\[ S_5 = \frac{{6 \cdot 32767}}{{7}} \]<br />\[ S_5 = \frac{{196502}}{{7}} \]<br />\[ S_5 = 28071 \]<br /><br />Portanto, a soma dos cinco primeiros termos da PG é 28071.<br /><br />77. Para calcular a soma dos seis primeiros termos de uma progressão geométrica (PG) com primeiro termo \( \frac{4}{5} \) e razão \( \frac{1}{2} \), podemos usar a mesma fórmula da soma dos termos de uma PG:<br /><br />\[ S_n = \frac{{a_1 \cdot (r^n - 1)}}{{r - 1}} \]<br /><br />Onde:<br />- \( S_n \) é a soma dos primeiros \( n \) termos da PG.<br />- \( a_1 \) é o primeiro termo da PG.<br />- \( r \) é a razão da PG.<br />- \( n \) é o número de termos que queremos somar.<br /><br />Substituindo os valores dados na fórmula, temos:<br /><br />\[ S_6 = \frac{{\frac{4}{5} \cdot \left(\left(\frac{1}{2}\right)^6 - 1\right)}}{{\frac{1}{2} - 1}} \]<br /><br />Calculando essa expressão, encontramos:<br /><br />\[ S_6 = \frac{{\frac{4}{5} \cdot \left(\frac{1}{64} - 1\right)}}{{-\frac{1}{2}}} \]<br />\[ S_6 = \frac{{\frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{63}{64}\right)}}{{-\frac{1}{2}}} \]<br />\[ S_6 = \frac{{\frac{4}{5} \cdot -\frac{63}{64}}}{{-\frac{1}{2}}} \]<br />\[ S_6 = \frac{{-\frac{252}{320}}}{{-\frac{1}{2}}} \]<br />\[ S_6 = \frac{{-\frac{252}{320}}}{{-\frac{1}{2}}} \]<br />\[ S_6 = \frac{{252}}{{320cdot 2 \]<br />\[ S_6 = \frac{{252}}{{160}} \]<br />\[ S_6 = 1,575 \]<br /><br />Portanto, a soma dos seis primeiros termos da PG é 1,575.