8. Uma empresa de fabricação de embalagens modelou - custo que tem com a produção com base na função C(x)=8x^2-320x+2400 em que xé a quantidade de material necessário para a produção em toneladas. A partir dessas informações, determine: a) a quantidade de material que minimiza o custo de produção. b) o custo mínimo de produção dessa empresa.

Para resolver essas questões, precisamos encontrar o valor mínimo da função de custo \( C(x) = 8x^2 - 320x + 2400 \).<br /><br />### a) Quantidade de material que minimiza o custo de produção<br /><br />Para encontrar o valor de \( x \) que minimiza a função, precisamos calcular o ponto crítico. Isso ocorre quando a derivada da função é igual a zero.<br /><br />\[ C(x) = 8x^2 - 320x + 2400 \]<br /><br />Calculamos a derivada de \( C(x) \):<br /><br />\[ C'(x) = \frac{d}{dx}(8x^2 - 320x + 2400) = 16x - 320 \]<br /><br />Igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:<br /><br />\[ 16x - 320 = 0 \]<br /><br />Resolvendo para \( x \):<br /><br />\[ 16x = 320 \]<br /><br />\[ x = 20 \]<br /><br />Portanto, a quantidade de material que minimiza o custo de produção é \( x = 20 \) toneladas.<br /><br />### b) Custo mínimo de produção dessa empresa<br /><br />Para encontrar o custo mínimo, substituímos \( x = 20 \) na função \( C(x) \):<br /><br />\[ C(20) = 8(20)^2 - 320(20) + 2400 \]<br /><br />Calculamos cada termo:<br /><br />\[ 8(20)^2 = 8 \times 400 = 3200 \]<br /><br />\[ 320(20) = 6400 \]<br /><br />Substituindo na função:<br /><br />\[ C(20) = 3200 - 6400 + 2400 \]<br /><br />\[ C(20) = 3200 - 6400 + 2400 \]<br /><br />\[ C(20) = -3200 + 2400 \]<br /><br />\[ C(20) = -800 \]<br /><br />Portanto, o custo mínimo de produção dessa empresa é \( -800 \) unidades monetárias.