4) Mostrar que os vetores overrightarrow (u_(1))=1,1,0),overrightarrow (u)_(2)=(1,0,1) e overrightarrow (u)_(3)=(0,1,1) formam uma base de V^3

Para mostrar que os vetores \(\overrightarrow{u}_{1} = (1, 1, 0)\), \(\overrightarrow{u}_{2} = (1, 0, 1)\) e \(\overrightarrow{u}_{3} = (0, 1, 1)\) formam uma base de \(\mathbb{R}^{3}\), precisamos verificar se eles são linearmente independentes e se geram \(\mathbb{R}^{3}\).<br /><br />1. **Linearmente Independentes:**<br /><br /> Os vetores são linearmente independentes se a única solução para a equação \(c_{1}\overrightarrow{u}_{1} + c_{2}\overrightarrow{u}_{2} + c_{3}\overrightarrow{u}_{3} = \overrightarrow{0}\) for \(c_{1} = c_{2} = c_{3} = 0\).<br /><br /> Vamos montar o sistema:<br /><br /> \[<br /> c_{1}(1, 1, 0) + c_{2}(1, 0, 1) + c_{3}(0, 1, 1) = (0, 0, 0)<br /> \]<br /><br /> Isso resulta no seguinte sistema de equações lineares:<br /><br /> \[<br /> \begin{cases}<br /> c_{1} + c_{2} = 0 \\<br /> c_{1} + c_{3} = 0 \\<br /> c_{2} + c_{3} = 0<br /> \end{cases}<br /> \]<br /><br /> Resolvendo o sistema, temos:<br /><br /> Da primeira equação: \(c_{1} = -c_{2}\)<br /><br /> Substituindo na segunda equação: \(-c_{2} + c_{3} = 0 \Rightarrow c_{3} = c_{2}\)<br /><br /> Substituindo na terceira equação: \(c_{2} + c_{2} = 0 \Rightarrow 2c_{2} = 0 \Rightarrow c_{2} = 0\)<br /><br /> Portanto, \(c_{1} = 0\) e \(c_{3} = 0\).<br /><br /> Assim, a única solução é \(c_{1} = c_{2} = c_{3} = 0\), mostrando que os vetores são linearmente independentes.<br /><br />2. **Geram \(\mathbb{R}^{3}\):**<br /><br /> Como temos três vetores linearmente independentes em \(\mathbb{R}^{3}\), eles automaticamente geram \(\mathbb{R}^{3}\).<br /><br />Portanto, os vetores \(\overrightarrow{u}_{1}\), \(\overrightarrow{u}_{2}\) e \(\overrightarrow{u}_{3}\) formam uma base de \(\mathbb{R}^{3}\).