4 Empório Barros vende balas de coco caseiras em pequenos pacotes. A cada dia de producão sào feitas 5(x-2y) balas recheadas com doce de leite e 10(x-2y)^2 balas recheadas com brigadeiro comerciante deseja montar o maior número possivel de pacotes, sendo que a quantidade de cada tipo de bala seja o mesmo em cada um deles Quantos pacotes ele deverá montar por dia de produ- cáo? Quantas balas de cada tipo ele colocard em cada pacote? I'TMC e o MDC de 4x^2+12x+9 e 4x^2-9 respectivamente, determine a+b

Para resolver o problema de Empório Barros, precisamos encontrar o valor de \( x \) e \( y \) que maximizem a quantidade de balas em cada pacote, considerando que a quantidade de cada tipo de bala deve ser a mesma em cada pacote.<br /><br />Dado:<br />- Balas recheadas com doce de leite: \( 5(x - 2y) \)<br />- Balas recheadas com brigadeiro: \( 10(x - 2y)^2 \)<br /><br />Para que a quantidade de cada tipo de bala seja a mesma em cada pacote, temos:<br />\[ 5(x - 2y) = 10(x - 2y)^2 \]<br /><br />Dividimos ambos os lados por 5:<br />\[ x - 2y = 2(x - 2y)^2 \]<br /><br />Resolvendo essa equação:<br />\[ 2(x - 2y)^2 - (x - 2y) = 0 \]<br />\[ (x - 2y)(2(x - 2y) - 1) = 0 \]<br /><br />Isso nos dá duas soluções:<br />1. \( x - 2y = 0 \) → \( x = 2y \)<br />2. \( 2(x - 2y) - 1 = 0 \) → \( 2x - 4y = 1 \) → \( x = 2y + \frac{1}{2} \)<br /><br />Para maximizar a quantidade de balas em cada pacote, escolhemos a solução que resulta em um valor positivo para \( x \) e \( y \).<br /><br />Vamos testar ambas as soluções:<br /><br />1. \( x = 2y \)<br /> - Substituindo \( x = 2y \) na equação \( 5(x - 2y) = 10(x - 2y)^2 \):<br /> - \( 5(2y - 2y) = 10(2y - 2y)^2 \)<br /> - \( 5 \cdot 0 = 10 \cdot 0^2 \)<br /> - \( 0 = 0 \) (Verdadeiro, mas não nos dá uma solução concreta)<br /><br />2. \( x = 2y + \frac{1}{2} \)<br /> - Substituindo \( x = 2y + \frac{1}{2} \) na equação \( 5(x - 2y) = 10(x - 2y)^2 \):<br /> - \( 5((2y + \frac{1}{2}) - 2y) = 10((2y + \frac{1}{2}) - 2y)^2 \)<br /> - \( 5(\frac{1}{2}) = 10(\frac{1}{2})^2 \)<br /> - \( 5 \cdot \frac{1}{2} = 10 \cdot \frac{1}{4} \)<br /> - \( \frac{5}{2} = \frac{10}{4} \)<br /> - \( \frac{5}{2} = \frac{5}{2} \) (Verdadeiro)<br /><br />Portanto, a solução é \( x = 2y + \frac{1}{2} \).<br /><br />Para determinar a quantidade de balas em cada pacote, substituímos \( x \) e \( y \) na expressão \( 5(x - 2y) \):<br /><br />\[ 5\left((2y + \frac{1}{2}) - 2y\right) = 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \]<br /><br />Portanto, Empório Barros deve montar \( \frac{5}{2} \) pacotes por dia, com \( \frac{5}{2} \) balas de cada tipo em cada pacote.<br /><br />Para a segunda parte da pergunta, precisamos calcular o MDC de \( 4x^2 + 12x + 9 \) e \( 4x^2 - 9 \).<br /><br />Fatorando os polinômios:<br />- \( 4x^2 + 12x + 9 = (2x + 3)^2 \)<br />- \( 4x^2 - 9 = (2x + 3)(2x - 3) \)<br /><br />O MDC é \( 2x + 3 \).<br /><br />Portanto, \( a + b = 2 + 3 = 5 \).