QUEST ÁO 146 Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando uma região plana de formato retangular . com lados de comprimer itos L metro e C metro. Os lados serão cercados por telas de tipos diferentes .Nos lados de comprimento L metro, será utilizada uma tela cujo metro linear custa R 20,00 enquanto, nos outros dois lados, uma que custa R 15,00 O fazendeiro quer gastar, no máximo, R 6000,00 na compra de toda a tela necessária para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior área possivel. Qual será a medida em metro, do maior lado do galinheir?? (A) 85 100 (C) 175 8.200 (C) 350

Para resolver esse problema, podemos usar o conceito de maximização da área de um retângulo dado um custo máximo.<br /><br />Vamos chamar de x a medida do lado de comprimento L metro e de y a medida do lado de comprimento C metro.<br /><br />O custo total da tela necessária para cercar o galinheiro será dado pela soma dos custos dos lados:<br /><br />Custo total = 2 * (custo do lado de comprimento L) + 2 * (custo do lado de comprimento C)<br /><br />O fazendeiro quer gastar no máximo R$ 6000,00, então temos a seguinte inequação:<br /><br />2 * (custo do lado de comprimento L) + 2 * (custo do lado de comprimento C) <= 6000<br /><br />Substituindo os custos dos lados, temos:<br /><br />2 * (20 * x) + 2 * (15 * y) <= 6000<br /><br />Simplificando a inequação, temos:<br /><br />40x + 30y <= 6000<br /><br />Agora, queremos maximizar a área do retângulo, que é dada por:<br /><br />Área = x * y<br /><br />Para encontrar o valor máximo da área, podemos usar o método de substituição ou gráficos. Neste caso, vamos usar o método de substituição.<br /><br />Vamos isolar y na inequação de custo:<br /><br />30y <= 6000 - 40x<br /><br />y <= (6000 - 40x) / 30<br /><br />Substituindo esse valor de y na fórmula da área, temos:<br /><br />Área = x * ((6000 - 40x) / 30)<br /><br />Para encontrar o valor máximo da área, podemos calcular a derivada da função da área em relação a x e igualá-la a zero:<br /><br />d(Área)/dx = (6000 - 40x) / 30 - (40x) / 30 = 0<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />6000 - 40x = 40x<br /><br />6000 = 80x<br /><br />x = 75<br /><br />Agora, substituindo esse valor de x na fórmula da área, temos:<br /><br />Área = 75 * ((6000 - 40 * 75) / 30)<br /><br />Área = 75 * (6000 - 3000) / 30<br /><br />Área = 75 * 3000 / 30<br /><br />Área = 7500<br /><br />Portanto, a medida em metro do maior lado do galinheiro será 100 metros. Portanto, a resposta correta é a opção (B) 100.