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Matemática
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4) Alex subiu no alto de um morro e lançou uma pedra para alcançar o lago que está ao lado do morro. A trajetória da pedra segue a função h(x)=-x^2+49 em que x é a distância alcançada pela pedra na horizontal e h é a altura da pedra em relação à base do morro; as medidas são dadas em metros. Considere que o eixo vertical do sistema de coordenadas passa exatamente pelo centro do morro, que é o ponto em que Alex está e que o eixo horizontal passa pela base do morro. Sabe-se, ainda. que o lago começa a 8 m de distância do centro do morro. A pedra cairá no lago? Justifique sua resposta.

Pergunta

4) Alex subiu no alto de um morro e lançou uma pedra para alcançar o lago que está ao lado do morro.
A trajetória da pedra segue a função h(x)=-x^2+49 em que x é a distância alcançada pela pedra na
horizontal e h é a altura da pedra em relação à base do morro; as medidas são dadas em metros.
Considere que o eixo vertical do sistema de coordenadas passa exatamente pelo centro do morro,
que é o ponto em que Alex está e que o eixo horizontal passa pela base do morro. Sabe-se, ainda.
que o lago começa a 8 m de distância do centro do morro. A pedra cairá no lago? Justifique sua
resposta.

4) Alex subiu no alto de um morro e lançou uma pedra para alcançar o lago que está ao lado do morro. A trajetória da pedra segue a função h(x)=-x^2+49 em que x é a distância alcançada pela pedra na horizontal e h é a altura da pedra em relação à base do morro; as medidas são dadas em metros. Considere que o eixo vertical do sistema de coordenadas passa exatamente pelo centro do morro, que é o ponto em que Alex está e que o eixo horizontal passa pela base do morro. Sabe-se, ainda. que o lago começa a 8 m de distância do centro do morro. A pedra cairá no lago? Justifique sua resposta.

Solução

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AdelaideMestre · Tutor por 5 anos

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Para determinar se a pedra cairá no lago, precisamos encontrar o ponto em que a trajetória da pedra cruza a linha que representa a distância do centro do morro ao lago, que é 8 metros.<br /><br />A função da trajetória da pedra é dada por $h(x)=-x^{2}+49$, onde x é a distância horizontal alcançada pela pedra e h é a altura da pedra em relação à base do morro.<br /><br />Queremos encontrar o valor de x para o qual h(x) é igual ou maior que 8 metros. Isso significa que precisamos resolver a seguinte inequação:<br /><br />$-x^{2}+49 \geq 8$<br /><br />Simplificando a inequação, temos:<br /><br />$-x^{2} \geq -41$<br /><br />Multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando de inverter o sinal de desigualdade):<br /><br />$x^{2} \leq 41$<br /><br />Agora, podemos encontrar o valor de x resolvendo a equação quadrática:<br /><br />$x^{2} = 41$<br /><br />$x = \sqrt{41}$ ou $x = -\sqrt{41}$<br /><br />Como a distância não pode ser negativa, descartamos a solução negativa. Portanto, a pedra cairará no lago se a distância horizontal alcançada for menor ou igual a $\sqrt{41}$ metros.<br /><br />Para justificar nossa resposta, podemos calcular o valor exato de $\sqrt{41}$:<br /><br />$\sqrt{41} \approx 6.4$<br /><br />Portanto, a pedra cairará no lago se a distância horizontal alcançada for menor ou igual a aproximadamente 6.4 metros.
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