6. Ache a reta tangente à curva interseão da superficic z=x^2+y^2 com o plano y=1 no ponto (2,1,5) Faça um esboço.

Para encontrar a reta tangente à curva de interseção da superfície \( z = x^2 + y^2 \) com o plano \( y = 1 \) no ponto \( (2,1,5) \), precisamos seguir os seguintes passos:<br /><br />1. **Encontrar a equação da curva de interseção:**<br /> - Substituindo \( y = 1 \) na equação da superfície, temos:<br /> \[<br /> z = x^2 + 1^2 = x^2 + 1<br /> \]<br /> - Portanto, a equação da curva de interseção é \( z = x^2 + 1 \).<br /><br />2. **Calcular a derivada parcial em relação a \( x \) e \( y \) na curva de interseção:**<br /> - Derivada parcial em relação a \( x \):<br /> \[<br /> \frac{\partial z}{\partial x} = 2x<br /> \]<br /> - Derivada parcial em relação a \( y \):<br /> \[<br /> \frac{\partial z}{\partial y} = 0<br /> \]<br /><br />3. **Evaluar as derivadas parciais no ponto \( (2,1,5) \):**<br /> - Para \( x = 2 \):<br /> \[<br /> \frac{\partial z}{\partial x} = 2 \cdot 2 = 4<br /> \]<br /> - Para \( y = 1 \):<br /> \[<br /> \frac{\partial z}{\partial y} = 0<br /> \]<br /><br />4. **Obter o vetor normal ao plano tangente:**<br /> - O vetor normal ao plano tangente é dado por:<br /> \[<br /> \vec{n} = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, -1 \right) = (4, 0, -1)<br /> \]<br /><br />5. **Usar o ponto \( (2,1,5) \) e o vetor normal para escrever a equação da reta tangente:**<br /> - A equação da reta tangente é:<br /> \[<br /> \frac{x - 2}{4} = \frac{y - 1}{0} = \frac{z - 5}{-1}<br /> \]<br /> - Simplificando, obtemos:<br /> \[<br /> x - 2 = 4t \quad \text{e} \quad z - 5 = -t<br /> \]<br /> - Como \( y = 1 \) é constante, a reta tangente é:<br /> \[<br /> x = 2 + 4t \quad \text{e} \quad z = 5 - t<br /> \]<br /><br />Portanto, a equação da reta tangente à curva de interseção da superfície \( z = x^2 + y^2 \) com o plano \( y = 1 \) no ponto \( (2,1,5) \) é:<br />\[<br />x = 2 + 4t \quad \text{e} \quad z = 5 - t<br />\]<br />onde \( t \) é um parâmetro.