51. Encontre o comprimento da circunferência de equação x^2+y^2=16 52. Determine a equação da circunferência com centro em (2,3) e raio 5. 53. Verifique se o ponto (1,-1) pertence à circunferência x^2+y^2-2x+4y-4=0 ponto (da reta que passa pelo ponto (0,2) e é perpendicular ao

51. Para encontrar o comprimento da circunferência da equação \(x^{2}+y^{2}=16\), precisamos primeiro identificar o raio da circunferência. A equação \(x^{2}+y^{2}=16\) representa uma circunferência com centro em \((0,0)\) e raio \(\sqrt{16} = 4\). O comprimento de uma circunferência é dado pela fórmula \(C = 2\pi r\), onde \(r\) é o raio. Portanto, o comprimento da circunferência é \(C = 2\pi \times 4 = 8\pi\).<br /><br />52. Para determinar a equação da circunferência com centro em \((2,3)\) e raio 5, usamos a fórmula geral da equação da circunferência: \((x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\), onde \((h,k)\) é o centro da circunferência e \(r\) é o raio. Substituindo os valores dados, temos \((x-2)^{2}+(y-3)^{2}=5^{2}\). Simplificando, a equação da circunferência é \((x-2)^{2}+(y-3)^{2}=25\).<br /><br />53. Para verificar se o ponto \((1,-1)\) pertence à circunferência dada pela equação \(x^{2}+y^{2}-2x+4y-4=0\), substituímos as coordenadas do ponto na equação e verificamos se a igualdade é satisfeita. Substituindo \(x=1\) e \(y=-1\), temos \((1)^{2}+(-1)^}-2(1)+4(-1)-4=1+1-2-4-4=-8\). Como o resultado não é igual a zero, o ponto \((1,-1)\) não pertence à circunferência.<br /><br />54. Para determinar a equação da reta que passa pelo ponto \((0,2)\) e é perpendicular ao vetor \(\vec{v}=\langle 3,4\rangle\), precisamos encontrar o coeficiente angular da reta. O coeficiente angular de uma reta perpendicular a um vetor \(\vec{v}=\langle a,b\rangle\) é dado por \(-\frac{a}{b}\). No caso, o coeficiente angular da reta é \(-\frac{3}{4}\). Usando ponto-coeficiente angular da equação da reta, temos \(y-2=-\frac{3}{4}(x-0)\). Simplificando, a equação da reta é \(y-2=-\frac{3}{4}x\).