22 A superfice lateral de um cone circular relo foi construida a partir de um selor circular de 3- de raio e angulo central de 120^circ Ovolume desse cone 2 em metros cubicos igual a (A) 6sqrt (5)pi (sqrt (2))/(3)= (B) 3sqrt (5)pi (D) (2sqrt (2))/(3)pi

Para encontrar o volume do cone, podemos usar a fórmula:<br /><br />\[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]<br /><br />Onde \( r \) é o raio da base do cone e \( h \) é a altura do cone.<br /><br />Dado que a superfície lateral do cone foi construída a partir de um setor circular de raio 3m e ângulo central de \( 120^\circ \), podemos usar a relação entre o raio do setor e o raio do cone:<br /><br />\[ r_{\text{cone}} = \frac{r_{\text{setor}}}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \]<br /><br />A altura do cone pode ser encontrada usando a relação entre o raio do setor e a altura do cone:<br /><br />\[ h_{\text{cone}} = \frac{r_{\text{setor}}}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \]<br /><br />Agora, podemos substituir os valores de \( r_{\text{cone}} \) e \( h_{\text{cone}} \) na fórmula do volume do cone:<br /><br />\[ V = \frac{1}{3} \pi (\sqrt{3})^2 \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right) \]<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br /><br />\[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{6} \pi = \frac{3\sqrt{2}}{2} \pi \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção (D) \( \frac{3\sqrt{2}}{2} \pi \).