(2,0/0,5 cada item) Dada a função f(x)=x^4-2x^3 Determine: a) os intervalos de crescimento e decrescimento da função e os pontos críticos. b) caso, existam, os máximos Theta minimos da função. c) os intervalos de concavidade para cima, ou para baixo, e os pontos de inflexão. X d) 0 oráfico de f(x)

a) Para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função, precisamos encontrar os pontos críticos. Para isso, podemos calcular a derivada da função e igualá-la a zero:<br /><br />$f'(x) = 4x^3 - 6x^2$<br /><br />Igualando a zero, temos:<br /><br />$4x^3 - 6x^2 = 0$<br /><br />Fatorando a equação, obtemos:<br /><br />$2x^2(2x - 3) = 0$<br /><br />Portanto, os pontos críticos são $x = 0$ e $x = \frac{3}{2}$.<br /><br />Agora, podemos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, podemos analisar o sinal da derivada em cada intervalo:<br /><br />- Para $x < 0$, a derivada é positiva, o que significa que a função está em crescimento.<br />- Para $0 < x < \frac{3}{2}$, a derivada é negativa, o que significa que a função está em decrescimento.<br />- Para $x > \frac{3}{2}$, a derivada é positiva novamente, o que significa que a função está em crescimento.<br /><br />Portanto, os intervalos de crescimento da função são $(-\infty, 0)$ e $(\frac{3}{2}, +\infty)$, e o intervalo de decrescimento é $(0, \frac{3}{2})$.<br /><br />b) Para determinar os máximos e mínimos da função, podemos analisar o sinal da segunda derivada em cada ponto crítico:<br /><br />$f''(x) = 12x^2 - 12x$<br /><br />Substituindo os pontos críticos na segunda derivada, temos:<br /><br />- Para $x = 0$, $f''(0) = 0$, o que significa que não podemos determinar se o ponto crítico é um máximo ou mínimo.<br />- Para $x = \frac{3}{2}$, $f''(\frac{3}{2}) = 9$, que é positivo, o que significa que o ponto crítico é um mínimo.<br /><br />Portanto, a função não possui máximos, mas possui um mínimo em $x = \frac{3}{2}$.<br /><br />c) Para determinar os intervalos de concavidade para cima ou para baixo, podemos analisar o sinal da segunda derivada em cada intervalo:<br /><br />- Para $x < 0$, a segunda derivada é negativa, o que significa que a função está concavemente para baixo.<br />- Para $0 < x < \frac{3}{2}$, a segunda derivada é negativa novamente, o que significa que a função está concavemente para baixo.<br />- Para $x > \frac{3}{2}$, a segunda derivada é positiva, o que significa que a função está concavemente para cima.<br /><br />Portanto, a função está concavemente para cima no intervalo $(\frac{3}{2}, +\infty)$ e concavemente para baixo nos intervalos $(-\infty, 0)$ e $(0, \frac{3}{2})$. Os pontos de inflexão são $x = 0$ e $x = \frac{3}{2}$.<br /><br />d) Para desenhar o gráfico de $f(x)$, podemos plotar alguns pontos e analisar o comportamento da função:<br /><br />- Para $x = -1$, $f(-1) = 3$.<br />- Para $x = 1$, $f(1) = -1$.<br />- Para $x = 2$, $f(2) = 0$.<br /><br />Portanto, o gráfico de $f(x)$ passa pelos pontos $(-1, 3)$, $(1, -1)$ e $(2, 0)$.