1. O valor médio que os adultos americanos gastam com comida em uma semana é US 151 e o desvio padrão é US 49 Amostras aleatórias de tamanho 50 são re- tiradas dessa população e a média de cada amostra é determinada. (Adaptado de: Gallup.) (a) Calcule a média e o desvio padrão da distribuição amostral das médias. (b) Qualé a probabilidade de que o valor médio gasto em comida em uma semana para certa amostra seja mais que US 160 (c) Qualé a probabilidade de que o valor médio gasto em comida em uma semana para certa amostra es- teja entre US 135 e US 150

(a) Para calcular a média e o desvio padrão da distribuição amostral das médias, podemos usar as fórmulas:<br /><br />Média da distribuição amostral das médias (μ_x̄) = Média da população (μ)<br />Desvio padrão da distribuição amostral das médias (σ_x̄) = Desvio padrão da população (σ) / raiz quadrada do tamanho da amostra (n)<br /><br />Nesse caso, a média da população (μ) é $151 e o desvio padrão da população (σ) é $49. O tamanho da amostra (n) é 50.<br /><br />Portanto, a média da distribuição amostral das médias (μ_x̄) é igual a média da população (μ), que é $151.<br /><br />O desvio padrão da distribuição amostral das médias (σ_x̄) é igual ao desvio padrão da população (σ) dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra (n), ou seja, σ_x̄ = σ / √n.<br /><br />Substituindo os valores, temos σ_x̄ = 49 / √50 ≈ 6,96.<br /><br />Portanto, a média da distribuição amostral das médias é $151 e o desvio padrão é aproximadamente $6,96.<br /><br />(b) Para calcular a probabilidade de que o valor médio gasto em comida em uma semana para certa amostra seja mais que $160, podemos usar a distribuição normal padrão (Z-score).<br /><br />O Z-score é calculado pela fórmula: Z = (X - μ_x̄) / σ_x̄, onde X é o valor que queremos calcular a probabilidade.<br /><br />Nesse caso, X = $160. Substituindo os valores, temos Z = (160 - 151) / 6,96 ≈ 1,44.<br /><br />Usando uma tabela de distribuição normal padrão ou um software estatístico, encontramos que a probabilidade de Z > 1,44 é aproximadamente 0,0745.<br /><br />Portanto, a probabilidade de que o valor médio gasto em comida em uma semana para certa amostra seja mais que $160 é aproximadamente 0,0745.<br /><br />(c) Para calcular a probabilidade de que o valor médio gasto em comida em uma semana para certa amostra esteja entre $135 e $150, podemos usar a distribuição normal padrão (Z-score).<br /><br />Calculamos o Z-score para ambos os valores:<br /><br />Para X = $135, temos Z = (135 - 151) / 6,96 ≈ -1,57.<br />Para X = $150, temos Z = (150 - 151) / 6,96 ≈ -0,14.<br /><br />Usando uma tabela de distribuição normal padrão ou um software estatístico, encontramos que a probabilidade de Z entre -1,57 e -0,14 é aproximadamente 0,563.<br /><br />Portanto, a probabilidade de que o valor médio gasto em comida em uma semana para certa amostra esteja entre $135 e $150 é aproximadamente 0,563.