3) Sendo alpha um ângulo agudo de um triângulo retângulo demonstre que sen^2alpha +cos^2alpha =1

Para demonstrar que \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), vamos usar a definição dos senos e cossenos em um triângulo retângulo.<br /><br />Considere um triângulo retângulo com um ângulo agudo \(\alpha\). Vamos usar a definição dos senos e cossenos:<br /><br />- \(\sin \alpha = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}\)<br />- \(\cos \alpha = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}\)<br /><br />Vamos considerar um triângulo retângulo onde:<br /><br />- O cateto oposto ao ângulo \(\alpha\) tem comprimento \(a\).<br />- O cateto adjacente ao ângulo \(\alpha\) tem comprimento \(b\).<br />- A hipotenusa tem comprimento \(c\).<br /><br />De acordo com o Teorema de Pitágoras, temos:<br /><br />\[ c^2 = a^2 + b^2 \]<br /><br />Agora, vamos calcular \(\sin \alpha\) e \(\cos \alpha\):<br /><br />\[ \sin \alpha = \frac{a}{c} \]<br />\[ \cos \alpha = \frac{b}{c} \]<br /><br />Substituindo essas definições na expressão \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha\), temos:<br /><br />\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \left( \frac{a}{c} \right)^2 + \left( \frac{b}{c} \right)^2 \]<br /><br />\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} \]<br /><br />\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{a^2 + b^2}{c^2} \]<br /><br />De acordo com o Teorema de Pitágoras, sabemos que:<br /><br />\[ a^2 + b^2 = c^2 \]<br /><br />Portanto:<br /><br />\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = \frac{c^2}{c^2} \]<br /><br />\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]<br /><br />Assim, demonstramos que:<br /><br />\[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \]<br /><br />Esta é uma identidade fundamental que se aplica a qualquer ângulo \(\alpha\).