Considere g:Rlongmapsto R uma função com derivada (dg)/(dt) contínua e f a função definida por f(x)=int _(0)^x(dg)/(dt)(t) dt para todo x e R Nessas condições , avalie as afirmações que se seguem. I. A função fe integrável em todo intervalo [a,b] a,bin R,alt b

Para avaliar a afirmação I, precisamos entender a função $f(x)$ que é definida como $f(x) = \int_{0}^{x} \frac{dg}{dt}(t) \, dt$.

A função $g(t)$ tem uma derivada contínua $\frac{dg}{dt}$, o que implica que $g(t)$ é uma função diferenciável e, portanto, contínua. A integral $\int_{0}^{x} \frac{dg}{dt}(t) \, dt$ é, portanto, uma integral definida de uma função contínua, o que significa que $f(x)$ é uma função contínua.

Para verificar se $f(x)$ é integrável em qualquer intervalo $[a, b]$ com $a, b \in \mathbb{R}$ e $a < b$, precisamos lembrar que a continuidade implica a integrabilidade em qualquer intervalo fechado. Como $f(x)$ é contínua em $\mathbb{R}$, ela é integrável em qualquer intervalo fechado $[a, b]$.

Portanto, a afirmação I é verdadeira: a função $f(x)$ é integrável em todo intervalo $[a, b]$ para $a, b \in \mathbb{R}$ e $a < b$.