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Matemática
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lim _(xarrow 3)(sqrt (2x+3)-)/(3-x) lim (1+x^2)^(1)/(x)=

Pergunta

lim _(xarrow 3)(sqrt (2x+3)-)/(3-x)
lim (1+x^2)^(1)/(x)=

lim _(xarrow 3)(sqrt (2x+3)-)/(3-x) lim (1+x^2)^(1)/(x)=

Solução

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UbirajaraProfissional · Tutor por 6 anos

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1. 对于第一个极限,我们可以使用代换法来解决。首先,我们将分子和分母都乘以 $\sqrt{2x+3}+3-x$,得到:<br /><br />$$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{(\sqrt{2x+3}-3)(\sqrt{2x+3}+3-x)}{(3-x)(\sqrt{2x+3}+3-x)}$$<br /><br />化简后,我们得到:<br /><br />$$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{2x+3-9}{(3-x)(\sqrt{2x+3}+3-x)}$$<br /><br />进一步化简,我们得到:<br /><br />$$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{2x-6}{(3-x)(\sqrt{2x+3}+3-x)}$$<br /><br />当 $x$ 接近 3 时,分子趋近于 0,而分母趋近于 0,因此我们需要使用洛必达法则来求解这个极限。对分子和分母分别求导,我们得到:<br /><br />$$\lim_{x\rightarrow 3}\frac{2}{\sqrt{2x+3}+3-x}$$<br /><br />当 $x$ 接近 3 时,分母趋近于 0,因此这个极限不存在。<br /><br />2. 对于第二个极限,我们可以使用洛必达法则来求解。首先,我们将 $1+x^2$ 写成 $e^{\ln(1+x^2)}$,得到:<br /><br />$$\lim_{x\rightarrow 0}(1+x^2)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{\ln(1+x^2)}{x}}$$<br /><br />对分子和分母分别求导,我们得到:<br /><br />$$\lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{2x}{1+x^2}}$$<br /><br />当 $x$ 接近 0 时,分子趋近于 0,因此这个极限等于 $e^0$,即 1。
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