Exercice 3: Soit G= () a&b b&c 1^circ Montrer que G est un sous espace vectoriel de M_(2) 2^circ Donnons un base et la dimension de G.

Pour montrer que \( G \) est un sous-espace vectoriel de \( M_2(\mathbb{R}) \), nous devons vérifier trois propriétés : la non-nullité, l'additivité et l'homogénéité.<br /><br />1. **Non-nullité** : Nous devons montrer que \( G \) contient le vecteur nul. Le vecteur nul dans \( M_2(\mathbb{R}) \) est la matrice nulle \( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \). Vérifions si ce vecteur appartient à \( G \). Pour cela, nous devons vérifier si \( 0 + 0 = 0 \). Cela est vrai, donc le vecteur nul appartient à \( G \).<br /><br />2. **Additivité** : Nous devons montrer que \( G \) est stable par addition. Soient \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \) et \( B = \begin{pmatrix} a' & b' \\ b' & c' \end{pmatrix} \) deux matrices dans \( G \). Nous devons montrer que \( A + B \) est également dans \( G \). Calculons \( A + B \) :<br /> \[<br /> A + B = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a' & b' \\ b' & c' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a + a' & b + b' \\ b + b' & c + c' \end{pmatrix}<br /> \]<br /> Puisque \( a + b = 0 \) et \( a' + b' = 0 \), nous avons \( a + a' + b + b' = 0 \). Donc, \( A + B \) est dans \( G \).<br /><br />3. **Homogénéité** : Nous devons montrer que \( G \) est stable par multiplication par un scalaire. Soit \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \) une matrice dans \( G \) et \( \lambda \) un scalaire. Nous devons montrer que \( \lambda A \) est dans \( G \). Calculons \( \lambda A \) :<br /> \[<br /> \lambda A = \lambda \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda a & \lambda b \\ \lambda b & \lambda c \end{pmatrix}<br /> \]<br /> Puisque \( a + b = 0 \), nous avons \( \lambda a + \lambda b = \lambda (a + b) = \lambda \cdot 0 = 0 \). Donc, \( \lambda A \) est dans \( G \).<br /><br />Puisque \( G \) satisfait aux trois propriétés de non-nullité, d'additivité et d'homogénéité, nous pouvons conclure que \( G \) est un sous-espace vectoriel de \( M_2(\mathbb{R}) \).<br /><br />2. **Base et dimension de \( G \)** : Pour trouver une base de \( G \), nous devons trouver des matrices dans \( G \) qui sont linéairement indépendantes et qui englobent tous les éléments de \( G \). Considérons les matrices \( \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \) et \( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \). Nous pouvons montrer que toute matrice de la forme \( \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \) dans \( G \) peut être écrite comme une combinaison linéaire de ces deux matrices. Donc, une base de \( G \) est \( \left\{ \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\} \). La dimension de \( G \) est 2, car il y a deux matrices dans la base.