Calcule a integral dupla [ int_(0)^1 int_(1)^2 (y)/(x e^x) ]

Para calcular a integral dupla, primeiro vamos integrar a função em relação a \(y\) e depois em relação a \(x\).<br /><br />\[<br />\int_{0}^{1} \int_{1}^{2} \frac{y}{x e^{x}} \, dy \, dx<br />\]<br /><br />Primeiro, vamos integrar em relação a \(y\):<br /><br />\[<br />\int_{1}^{2} \frac{y}{x e^{x}} \, dy<br />\]<br /><br />Podemos fazer isso usando a substituição simples \(u = y\), então \(du = dy\):<br /><br />\[<br />\int_{1}^{2} \frac{y}{x e^{x}} \, dy = \frac{1}{x e^{x}} \int_{1}^{2} y \, dy<br />\]<br /><br />Agora, vamos calcular a integral simples:<br /><br />\[<br />\int_{1}^{2} y \, dy = \left. \frac{y^2}{2} \right|_{1}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}<br />\]<br /><br />Então, temos:<br /><br />\[<br />\int_{1}^{2} \frac{y}{x e^{x}} \, dy = \frac{1}{x e^{x}} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2 x e^{x}}<br />\]<br /><br />Agora, vamos integrar essa função em relação a \(x\):<br /><br />\[<br />\int_{0}^{1} \frac{3}{2 x e^{x}} \, dx<br />\]<br /><br />Podemos usar a substituição \(u = x e^{x}\), então \(du = e^{x} dx + x e^{x} dx = (x + 1) e^{x} dx\):<br /><br />\[<br />\int_{0}^{1} \frac{3}{2 x e^{x}} \, dx = \frac{3}{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{x e^{x}} \, dx = \frac{3}{2} \int_{0}^{1} \frac{e^{-x}}{x} \, dx<br />\]<br /><br />Esta integral é conhecida como a função de Euler, e seu valor é aproximadamente 0,5772156649. Portanto, temos:<br /><br />\[<br />\frac{3}{2} \cdot 0,5772156649 \approx 0,8663539887<br />\]<br /><br />Portanto, o valor da integral dupla é aproximadamente 0,866354.