67. Ineontre a equacoô vetorial de reta perpendicular comum as retas L:(P, Q, Q) f(3,2,3) e R(-1,2,1)+S(3,-2,1) . Qual a posicao relativa entre as retas L e R ?

Para determinar a posição relativa entre as retas \( L \) e \( R \), precisamos encontrar o produto vetorial entre os vetores direcionais dessas retas. O produto vetorial entre dois vetores \( \vec{a} \) e \( \vec{b} \) é dado por:<br /><br />\[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix}<br />\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\<br />a_1 & a_2 & a_3 \\<br />b_1 & b_2 & b_3<br />\end{vmatrix} \]<br /><br />onde \( \mathbf{i} \), \( \mathbf{j} \) e \( \mathbf{k} \) são os vetores unitários nas direções \( x \), \( y \) e \( z \), respectivamente.<br /><br />Para as retas \( L \) e \( R \), temos os vetores direcionais:<br /><br />\( \vec{L} = (1, 0, 0) \) e \( \vec{R} = (3, -2, 1) \)<br /><br />Calculando o produto vetorial entre esses vetores, temos:<br /><br />\[ \vec{L} \times \vec{R} = \begin{vmatrix}<br />\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\<br />1 & 0 & 0 \\<br />3 & -2 & 1<br />\end{vmatrix} \]<br /><br />\[ \vec{L} \times \vec{R} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-2)) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 3) + \mathbf{k}(1 \cdot (-2) - 0 \cdot 3) \]<br /><br />\[ \vec{L} \times \vec{R} = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(-2) \]<br /><br />\[ \vec{L} \times \vec{R} = 0\mathbf{i} - \mathbf{j} - 2\mathbf{k} \]<br /><br />\[ \vec{L} \times \vec{R} = -\mathbf{j} - 2\mathbf{k} \]<br /><br />Portanto, o vetor resultante do produto vetorial é \( (-0, -1, -2) \).<br /><br />Como o produto vetorial é nulo, isso significa que as retas \( L \) e \( R \) são paralelas. Portanto, a posição relativa entre as retas \( L \) e \( R \) é que elas são paralelas.