34. segam os pontos A(5,-6,2), B=(8,3,-8) e C=(3,-1,1) . Calcular a altura de triangle B e a perter do rertice A

Para calcular a altura de \( \triangle B \) e a altura do vértice \( A \), precisamos primeiro encontrar as equações das retas que passam por esses pontos.<br /><br />1. **Altura de \( \triangle B \):**<br /><br />Vamos calcular a altura da reta \( BC \) (que é a altura de \( \triangle B \)) a partir do ponto \( A \).<br /><br />Primeiro, calculamos o vetor diretor da reta \( BC \):<br /><br />\[<br />\overrightarrow{BC} = C - B = (1 - 1, -1 - 3, 1 - (-8)) = (0, -4, 9)<br />\]<br /><br />Agora, calculamos a altura da reta \( BC \) a partir do ponto \( A \):<br /><br />\[<br />\text{Altura} = \frac{|\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{BC}|}<br />\]<br /><br />onde \( \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 5, 3 - (-6), -8 - 2) = (-4, 9, -10) \).<br /><br />Calculamos o produto vetorial \( \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{AB} \):<br /><br />\[<br />\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{AB} = \begin{vmatrix}<br />\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\<br />0 & -4 & 9 \\<br />-4 & 9 & -10<br />\end{vmatrix}<br />= \mathbf{i}((-4)(-10) - 9 \cdot 9) - \mathbf{j}(0 \cdot (-10) - 9 \cdot (-4)) + \mathbf{k}(0 \cdot 9 - (-4) \cdot (-4))<br />\]<br /><br />\[<br />= \mathbf{i}(40 - 81) - \mathbf{j}(0 + 36) + \mathbf{k}(0 - 16)<br />\]<br /><br />\[<br />= \mathbf{i}(-41) - \mathbf{j}(36) + \mathbf{k}(-16)<br />\]<br /><br />\[<br />= (-41, -36, -16)<br />\]<br /><br />Calculamos o módulo deste vetor:<br /><br />\[<br />|\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{AB}| = \sqrt{(-41)^2 + (-36)^2 + (-16)^2} = \sqrt{1681 + 1296 + 256} = \sqrt{3233}<br />\]<br /><br />Calculamos o módulo de \( \overrightarrow{BC} \):<br /><br />\[<br />|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 9^2} = \sqrt{0 + 16 + 81} = \sqrt{97}<br />\]<br /><br />Portanto, a altura de \( \triangle B \) é:<br /><br />\[<br />\text{Altura} = \frac{\sqrt{3233}}{\sqrt{97}} = \sqrt{\frac{3233}{97}} = \sqrt{33.33} \approx 5.77<br />\]<br /><br />2. **Altura do vértice \( A \):**<br /><br />Para calcular a altura do vértice \( A \) sobre a reta \( BC \), precisamos calcular a projeção perpendicular de \( A \) sobre \( BC \).<br /><br />Primeiro, calculamos o vetor diretor da reta \( BC \):<br /><br />\[<br />\overrightarrow{BC} = (0, -4, 9)<br />\]<br /><br />Agora, calculamos a projeção perpendicular de \( A \) sobre \( BC \):<br /><br />\[<br />\text{Altura} = \frac{\overrightarrow{BC} \cdot (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B})}{|\overrightarrow{BC}|^2}<br />\]<br /><br />onde \( \overrightarrow{A} = (5, -6, 2) \) e \( \overrightarrow{B} = (1, 3, -8) \).<br /><br />Calculamos o produto escalar \( \overrightarrow{BC} \cdot (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}) \):<br /><br />\[<br />\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} = (5 - 1, -6 - 3, 2 - (-8)) = (4, -9, 10)<br />\]<br /><br />\[<br />\overrightarrow{BC} \cdot (\overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}) = (0 \cdot 4) + (-4 \cdot -9) + (9 \cdot 10) = 0 + 36 + 90 = 126<br />\]<br /><br />Calculamos o módulo de \( \overrightarrow{BC} \):<br /><br />\[<br />|\overrightarrow{BC}|^2