3. Determine a solução particular y=f(x) que satisfaça a equaçã diferencial e a condição inicial. a. f'(x)=4x; f(0)=6 b. f'(x)=(1)/(5)x-2; f(10)=-10 f'(x)=2(x-1); f(3)=2

Para resolver cada uma das equações diferenciais e encontrar a solução particular que satisfaça as condições iniciais, precisamos integrar as funções derivadas dadas.<br /><br />a. \( f'(x) = 4x \)<br /><br />Para encontrar \( f(x) \), integramos \( f'(x) \):<br /><br />\[ f(x) = \int 4x \, dx = 2x^2 + C \]<br /><br />Usando a condição inicial \( f(0) = 6 \):<br /><br />\[ 2(0)^2 + C = 6 \]<br />\[ C = 6 \]<br /><br />Portanto, a solução particular é:<br /><br />\[ f(x) = 2x^2 + 6 \]<br /><br />b. \( f'(x) = \frac{1}{5}x - 2 \)<br /><br />Integramos \( f'(x) \):<br /><br />\[ f(x) = \int \left(\frac{1}{5}x - 2\right) \, dx = \frac{1}{10}x^2 - 2x + C \]<br /><br />Usando a condição inicial \( f(10) = -10 \):<br /><br />\[ \frac{1}{10}(10)^2 - 2(10) + C = -10 \]<br />\[ 10 - 20 + C = -10 \]<br />\[ C = 0 \]<br /><br />Portanto, a solução particular é:<br /><br />\[ f(x) = \frac{1}{10}x^2 - 2x \]<br /><br />c. \( f'(x) = 2(x-1) \)<br /><br />Integramos \( f'(x) \):<br /><br />\[ f(x) = \int 2(x-1) \, dx = x^2 - 2x + C \]<br /><br />Usando a condição inicial \( f(3) = 2 \):<br /><br />\[ (3)^2 - 2(3) + C = 2 \]<br />\[ 9 - 6 + C = 2 \]<br />\[ C = -1 \]<br /><br />Portanto, a solução particular é:<br /><br />\[ f(x) = x^2 - 2x - 1 \]<br /><br />Essas são as soluções particulares para cada uma das equações diferenciais dadas com suas respectivas condições iniciais.