Qual o símbolo de somatório que representa a seguinte expressão: 3cdot 4cdot 5+4cdot 5cdot 6+5cdot 6cdot 7 (a) sum _(k=2)^4(k+1)(k-1)(k+2) (b) sum _(k=3)^5k(k-1)(k-2) (c) sum _(k=1)^3(k+4)(k+1)(k+2) (d) sum _(k=3)^5k(k+1)(k+2) (e) sum _(k=5)^2(k-2)(k-1)(k+2)

Para encontrar o símbolo de somatório que representa a expressão dada, vamos analisar cada termo da expressão:<br /><br />$3\cdot 4\cdot 5+4\cdot 5\cdot 6+5\cdot 6\cdot 7$<br /><br />Podemos observar que cada termo é o produto de três números consecutivos, começando pelo primeiro número como fator inicial, o segundo número como fator intermediário e o terceiro número como fator final.<br /><br />Agora, vamos analisar as opções de resposta:<br /><br />(a) $\sum _{k=2}^{4}(k+1k+2)$<br /><br />(b) $\sum _{k=3}^{5}k(k-1)(k-2)$<br /><br />(c) $\sum _{k=1}^{3}(k+4)(k+1)(k+2)$<br /><br />(d) $\sum _{k=3}^{5}k(k+1)(k+2)$<br /><br />(e) $\sum _{k=5}^{2}(k-2)(k-1)(k+2)$<br /><br />Vamos verificar cada opção:<br /><br />(a) $\sum _{k=2}^{4}(k+1)(k-1)(k+2)$<br /><br />Substituindo os valores de k de 2 a 4, temos:<br /><br />$(2+1)(2-1)(2+2) + (3+1)(3-1)(3+2) + (4+1)(4-1)(4+2)$<br /><br />$(3)(4) + (4)(2)(5) + (5)(3)(6)$<br /><br />$12 + 40 + 90 = 142$<br /><br />Isso não é igual à expressão original.<br /><br />(b) $\sum _{k=3}^{5}k(k-1)(k-2)$<br /><br />Substituindo os valores de k de 3 a 5, temos:<br /><br />$(3)(3-1)(3-2) + (4)(4-1)(4-2) + (5)(5-1)(5-2)$<br /><br />$(3)(2)(1) + (4)(3)(2) + (5)(4)(3)$<br /><br />$6 + 24 + 60 = 90$<br /><br />Isso não é igual à expressão original.<br /><br />(c) $\sum _{k=1}^{3}(k+4)(k+1)(k+2)$<br /><br />Substituindo os valores de k de 1 a 3, temos:<br /><br />$(1+4)(1+1)(1+2) + (2+4)(2+1)(2+2) + (3+4)(3+1)(3+2)$<br /><br />$(5)(2)(3) + (6)(3)(4) + (7)(4)(5)$<br /><br />$30 + 72 + 140 = 242$<br /><br />Isso não é igual à expressão original.<br /><br />(d) $\sum _{k=3}^{5}k(k+1)(k+2)$<br /><br />Substituindo os valores de k de 3 a 5, temos:<br /><br />$(3)(3+1)(3+2) + (4)(4+1)(4+2) + (5)(5+1)(5+2)$<br /><br />$(3)(4)(5) + (4)(5)(6) + (5)(6)(7)$<br /><br />$60 + 120 + 210 = 390$<br /><br />Isso é igual à expressão original.<br /><br />(e) $\sum _{k=5}^{2}(k-2)(k-1)(k+2)$<br /><br />Esta opção está em ordem inversa, então não podemos considerá-la.<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção (d) $\sum _{k=3}^{5}k(k+1)(k+2)$.