Na engenharia, o cálculo de áreas entre funçōes e usado para determinar o volume de materiais em estruturas complexas, como reservatórios, tanques de armazenamento e outras formas irregulares. Sabendo disso determine o volume do solido de rotação, em unidade de volume (u,v.) da regiǎo A em torno do eixo r para os seguintes critérios: A: ) y=(x)/(4)+1&se-4leqslant xlt 0 y=sqrt (1-x^2)&se0leqslant xleqslant 1 y=0&se1leqslant xleqslant 4 A (pi )/(3)cdot (pi )/(4) B (3pi )/(2)cdot 2pi D (1)/(2), E (x)/(2)cdot (1)/(4)

Para determinar o volume do sólido de rotação da região A em torno do eixo r, podemos usar o método dos discos ou anéis. Vamos usar o método dos discos.<br /><br />Primeiro, vamos encontrar a área da região A. A região A é formada por três partes:<br /><br />1. Uma linha reta de -4 a 0, com a equação y = x/4 + 1.<br />2. Uma semicírculo de 0 a 1, com a equação y = sqrt(1 - x^2).<br />3. Uma linha reta de 1 a 4, com a equação y = 0.<br /><br />Vamos calcular a área de cada parte separadamente:<br /><br />1. Para a linha reta de -4 a 0, podemos usar a fórmula da área de um triângulo para encontrar a área. A base do triângulo é a diferença entre os valores de x (-4 e 0), e a altura é o valor máximo de y nessa parte (1). Portanto, a área dessa parte é (1/2) * (-4 - 0) * 1 = -2.<br /><br />2. Para o semicírculo de 0 a 1, podemos usar a fórmula da área de um semicírculo para encontrar a área. A área de um semicírculo é (π * r^2) / 2, onde r é o raio. Nesse caso, o raio é 1. Portanto, a área desse semicírculo é (π * 1^2) / 2 = π/2.<br /><br />3. Para a linha reta de 1 a 4, a altura é 0 e a base é 3. Portanto, a área dessa parte é (1/2) * 3 * 0 = 0.<br /><br />Agora, vamos somar as áreas das três partes para obter a área total da região A: -2 + π/2 + 0 = π/2 - 2.<br /><br />Para determinar o volume do sólido de rotação, precisamos multiplicar a área da região A pela altura do sólido de rotação. Nesse caso, a altura é a distância entre o eixo r e a linha reta de -4 a 0, que é 4.<br /><br />Portanto, o volume do sólido de rotação é (π/2 - 2) * 4 = 2π - 8.<br /><br />A resposta correta é a opção B: 2π - 8.