Diante desse tema, seja o seguinte problema de valor inicial (PVI)contemplando uma EDO linear de segunda ordem: y''+4y=sen(t) y(0)=0 y'(0)=1 Utilize a transformada de Laplace para encontrar a solução y(t).

Para resolver esse problema utilizando a transformada de Laplace, primeiro precisamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial ordinária (EDO) dada:<br /><br />$y''(t) + 4y(t) = \sin(t)$<br /><br />Aplicando a transformada de Laplace, temos:<br /><br />$s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + 4Y(s) = \frac{1}{s^2 + 1}$<br /><br />Substituindo os valores iniciais $y(0) = 0$ e $y'(0) = 1$, temos:<br /><br />$s^2Y(s) - 1 + 4Y(s) = \frac{1}{s^2 + 1}$<br /><br />Agora, podemos resolver essa equação para encontrar $Y(s)$:<br /><br />$s^2Y(s) + 4Y(s) = \frac{1}{s^2 + 1} + 1$<br /><br />$fatorizando $Y(s)$, temos:<br /><br />$(s^2 + 4)Y(s) = \frac{1}{s^2 + 1} + 1$<br /><br />$Y(s) = \frac{1}{s^2 + 4} + \frac{1}{s^2 + 1}$<br /><br />Agora, podemos encontrar a solução $y(t)$ aplicando o inverso da transformada de Laplace:<br /><br />$y(t) = \mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}$<br /><br />$y(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2 + 4}\right\} + \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s^2 + 1}\right\}$<br /><br />$y(t) = \frac{1}{2}\sin(2t) + \sin(t)$<br /><br />Portanto, a solução da EDO linear de segunda ordem dada é:<br /><br />$y(t) = \frac{1}{2}\sin(2t) + \sin(t)$