9 S=log_(1/3)sqrt ((1)/(27))-log_(2)sqrt [3](0.3)sqrt (8)+log_(3)sqrt [4](0.1) 20 S=log_(4)(log_(3)9)+log_(2)(log_(31)3)+ log_(0,8)(log_(16)32)

Para resolver essas expressões logarítmicas, vamos aplicar as propriedades dos logaritmos.<br /><br />No primeiro caso, temos:<br /><br />$S = \log_{1/3}\sqrt{\frac{1}{27}} - \log_{2}\sqrt[3]{0.3}\sqrt{8} + \log_{3}\sqrt[4]{0.1}$<br /><br />Podemos simplificar cada termo da seguinte forma:<br /><br />1. $\log_{1/3}\sqrt{\frac{1}{27}} = \log_{1/3}(\frac{1}{27})^{1/2} = \log_{1/3}(\frac{1}{3^3})^{1/2} = \log_{1/3}(\frac{1}{3^{3/2}}) = \log_{1/3}(3^{-3/2}) = -\frac{3}{2}$<br /><br />2. $\log_{2}\sqrt[3]{0.3}\sqrt{8} = \log_{2}((0.3 \cdot 8)^{1/3}) = \log_{2}(2.4^{1/3}) = \frac{1}{3}\log_{2}(2.4) \approx \frac{1}{3}(0.631) \approx 0.211$<br /><br />3. $\log_{3}\sqrt[4]{0.1} = \log_{3}(0.1)^{1/4} = \log_{3}(10^{-1})^{1/4} = \log_{3}(10^{-1/4}) = -\frac{1}{4}\log_{3}(10) \approx -\frac{1}{4}(3.32) \approx -0.83$<br /><br />Somando os termos, temos:<br /><br />$S \approx -\frac{3}{2} + 0.211 - 0.83 \approx -1.5 + 0.211 - 0.83 \approx -1.999 \approx -2$<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção A: -2.<br /><br />No segundo caso, temos:<br /><br />$S = \log_{4}(\log_{3}9) + \log_{2}(\log_{31}3) + \log_{0,8}(\log_{16}32)$<br /><br />Podemos simplificar cada termo da seguinte forma:<br /><br />1. $\log_{4}(\log_{3}9) = \log_{4}(2) = \frac{2}{2} = 1$<br /><br />2. $\log_{2}(\log_{31}3) = \log_{2}(1) = 0$<br /><br />3. $\log_{0,8}(\log_{16}32) = \log_{0,8}(2) = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$<br /><br />Somando os termos, temos:<br /><br />$S = 1 + 0 - \frac{2}{3} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção B: $\frac{1}{3}$.