Em anos de desenvolvimento, a matemática vem tomando uma significativa importância no cotidiano de todos no decorrer dos tempos , principalmente para os engenheiros. Ela está presente em tudo, em situações cotidianas e em cursos de graduação, seja de forma direta ou indireta. O Cálculo Diferencial e Integral, faz parte de toda a vida acadêmica dos estudantes de engenharia , proporcionando-os a possibilidade de solucionar problemas na profissão escolhida, ou nas diversas áreas do conhecimento de uma forma mais assertiva. Como exemplo, no cálculo de tração, compressão , cisalhamento, tensões e deformações (deformações em barras carregadas axialmente/barras sob a ação do próprio peso), cálculo de áreas, volumes , momentos de inércia, cargas e entre outros. Fonte: https://repositorio ufersa.edu.br/server/apil core/bitstreams/e70d1cfa-24fe -4f5d- b297-0e2931acbbe9/content Acesso em: 10 ago . 2024. Sobre a importância dos conteúdos do Cálculo Diferencial e Integral observe a função a seguir. f(x)=sqrt (x+1)-2x+4 Com base na função , faça: a) Qual o valor dessa função calculada no ponto 3? b) Qual a taxa de variação instantânea, ou seja, a derivada dessa função? c) Qual o valor da derivada calculada no ponto 3? d) A derivada segunda dessa função é? e) A derivada segunda calculada no ponto 3 é?

Para resolver as questões propostas, vamos analisar a função \( f(x) = \sqrt{x+1} - 2x + 4 \).<br /><br />a) **Valor da função no ponto 3:**<br /><br />Substituímos \( x = 3 \) na função:<br /><br />\[ f(3) = \sqrt{3+1} - 2(3) + 4 = \sqrt{4} - 6 + 4 = 2 - 6 + 4 = 0. \]<br /><br />b) **Taxa de variação instantânea (derivada da função):**<br /><br />A derivada de \( f(x) \) é calculada como:<br /><br />\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x+1}) - \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(4). \]<br /><br />Usando a regra da cadeia para a derivada de \(\sqrt{x+1}\):<br /><br />\[ \frac{d}{dx}(\sqrt{x+1}) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+1}}. \]<br /><br />A derivada de \(-2x\) é \(-2\), e a derivada de uma constante é zero.<br /><br />Portanto, a derivada da função é:<br /><br />\[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} - 2. \]<br /><br />c) **Valor da derivada no ponto 3:**<br /><br />Substituímos \( x = 3 \) na derivada:<br /><br />\[ f'(3) = \frac{1}{2\sqrt{3+1}} - 2 = \frac{1}{2 \times 2} - 2 = \frac{1}{4} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{7}{4}. \]<br /><br />d) **Derivada segunda da função:**<br /><br />Calculamos a derivada da primeira derivada \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} - 2 \):<br /><br />A derivada de \(\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\) é:<br /><br />\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2\sqrt{x+1}}\right) = \frac{-1}{4(x+1)\sqrt{x+1}}. \]<br /><br />A derivada de \(-2\) é zero.<br /><br />Portanto, a derivada segunda é:<br /><br />\[ f''(x) = \frac{-1}{4(x+1)\sqrt{x+1}}. \]<br /><br />e) **Valor da derivada segunda no ponto 3:**<br /><br />Substituímos \( x = 3 \) na derivada segunda:<br /><br />\[ f''(3) = \frac{-1}{4(3+1)\sqrt{3+1}} = \frac{-1}{4 \times 4 \times 2} = \frac{-1}{32}. \]<br /><br />Resumindo:<br /><br />a) \( f(3) = 0 \)<br /><br />b) \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+1}} - 2 \)<br /><br />c) \( f'(3) = -\frac{7}{4} \)<br /><br />d) \( f''(x) = \frac{-1}{4(x+1)\sqrt{x+1}} \)<br /><br />e) \( f''(3) = \frac{-1}{32} \)