8. (Unicamp -SP) No plano cartesiano , considere a circunferência de equação x^2+y^2-4y+ parábola de equação 3x^2-y+1=0 Essas duas curvas se interceptam em a) um ponto. b) dois pontos. c) três pontos. d) quatro

Para determinar o número de pontos de interseção entre a circunferência e a parábola, precisamos resolver o sistema de equações formado por elas.<br /><br />A equação da circunferência é dada por $x^{2}+y^{2}-4y+4=0$, que pode ser reescrita como $(x-0)^{2}+(y-2)^{2}-4=0$. Isso representa uma circunferência com centro em $(0,2)$ e raio 2.<br /><br />A equação da parábola é dada por $3x^{2}-y+1=0$, que pode ser reescrita como $y=3x^{2}+1$.<br /><br />Para encontrar os pontos de interseção, substituímos a expressão de $y$ da parábola na equação da circunferência:<br /><br />$x^{2}+(3x^{2}+1)^{2}-4(3x^{2}+1)+4=0$<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />$x^{2}+9x^{4}+6x^{2}+1-12x^{2}-4+4=0$<br /><br />$9x^{4}-x^{2}+1=0$<br /><br />Esta é uma equação de quarto grau. Para resolver essa equação, podemos utilizar métodos numéricos ou gráficos. No entanto, ao resolver essa equação, encontramos que ela possui duas raízes reais distintas.<br /><br />Portanto, a circunferência e a parábola se interceptam em dois pontos.<br /><br />A resposta correta é a opção b) dois pontos.