2. Analise se as sequências são crescentes ou decrescentes: a) a_(n)=(3)/(n+5) b) a_(n)=(n)/(n^2)+1 c) a_(n)=(n-1)/(n+1) d a_(n)=(2^n)/(3^n+1)

Vamos analisar cada uma das sequências para determinar se elas são crescentes ou decrescentes:<br /><br />a) \( a_{n} = \frac{3}{n+5} \)<br /><br />Para determinar se a sequência é crescente ou decrescente, podemos calcular a diferença entre termos consecutivos:<br /><br />\[ a_{n+1} = \frac{3}{(n+1)+5} = \frac{3}{n+6} \]<br /><br />Comparando \( a_{n+1} \) com \( a_{n} \):<br /><br />\[ \frac{3}{n+6} < \frac{3}{n+5} \quad \text{para} \quad n \geq 1 \]<br /><br />Portanto, a sequência \( a_{n} = \frac{3}{n+5} \) é decrescente.<br /><br />b) \( a_{n} = \frac{n}{n^{2}+1} \)<br /><br />Para determinar se a sequência é crescente ou decrescente, podemos calcular a diferença entre termos consecutivos:<br /><br />\[ a_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)^{2}+1} = \frac{n+1}{n^{2}+2n+2+1} = \frac{n+1}{n^{2}+2n+3} \]<br /><br />Comparando \( a_{n+1} \) com \( a_{n} \):<br /><br />\[ \frac{n+1}{n^{2}+2n+3} \quad \text{com} \quad \frac{n}{n^{2}+1} \]<br /><br />Para \( n \geq 1 \), podemos observar que:<br /><br />\[ \frac{n+1}{n^{2}+2n+3} > \frac{n}{n^{2}+1} \]<br /><br />Portanto, a sequência \( a_{n} = \frac{n}{n^{2}+1} \) é decrescente.<br /><br />c) \( a_{n} = \frac{n-1}{n+1} \)<br /><br />Para determinar se a sequência é crescente ou decrescente, podemos calcular a diferença entre termos consecutivos:<br /><br />\[ a_{n+1} = \frac{n}{(n+1)+1} = \frac{n}{n+2} \]<br /><br />Comparando \( a_{n+1} \) com \( a_{n} \):<br /><br />\[ \frac{n}{n+2} \quad \text{com} \quad \frac{n-1}{n+1} \]<br /><br />Para \( n \geq 1 \), podemos observar que:<br /><br />\[ \frac{n}{n+2} > \frac{n-1}{n+1} \]<br /><br />Portanto, a sequência \( a_{n} = \frac{n-1}{n+1} \) é crescente.<br /><br />d) \( a_{n} = \frac{2^{n}}{3^{n+1}} \)<br /><br />Para determinar se a sequência é crescente ou decrescente, podemos calcular a razão entre termos consecutivos:<br /><br />\[ \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\frac{2^{n+1}}{3^{n+2}}}{\frac{2^{n}}{3^{n+1}}} = \frac{2^{n+1} \cdot 3^{n+1}}{2^{n} \cdot 3^{n+2}} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{2}{3} \]<br /><br />Como \( \frac{2}{3} < 1 \), a sequência \( a_{n} = \frac{2^{n}}{3^{n+1}} \) é decrescente.<br /><br />Portanto, as sequências são:<br /><br />a) Decrescente<br />b) Decrescente<br />c) Crescente<br />d) Decrescente