12) int_(0)(x^2+y^2+z^2) d x, c: x=t ; y=cos 2 t, z=operatorname(sen) 2 t: 0 leq t leq 2 pi

Para resolver a integral dada, podemos usar a substituição de coordenadas. A integral é dada por:<br /><br />\[ \int_{0}^{2\pi} (x^2 + y^2 + z^2) \, dx \]<br /><br />onde \( x = t \), \( y = \cos(2t) \), e \( z = \sin(2t) \) para \( 0 \leq t \leq 2\pi \).<br /><br />Primeiro, vamos expressar \( x^2 + y^2 + z^2 \) em termos de \( t \):<br /><br />\[ x^2 = t^2 \]<br />\[ y^2 = (\cos(2t))^2 = \cos^2(2t) \]<br />\[ z^2 = (\sin(2t))^2 = \sin^2(2t) \]<br /><br />Portanto, a expressão \( x^2 + y^2 + z^2 \) se torna:<br /><br />\[ x^2 + y^2 + z^2 = t^2 + \cos^2(2t) + \sin^2(2t) \]<br /><br />Usando a identidade trigonométrica \( \cos^2(2t) + \sin^2(2t) = 1 \), obtemos:<br /><br />\[ x^2 + y^2 + z^2 = t^2 + 1 \]<br /><br />Agora, podemos reescrever a integral em termos de \( t \):<br /><br />\[ \int_{0}^{2\pi} (t^2 + 1) \, dt \]<br /><br />Podemos dividir essa integral em duas integrais separadas:<br /><br />\[ \int_{0}^{2\pi} t^2 \, dt + \int_{0}^{2\pi} 1 \, dt \]<br /><br />Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.<br /><br />Para a primeira integral:<br /><br />\[ \int_{0}^{2\pi} t^2 \, dt \]<br /><br />Usando a fórmula da integral de potência, temos:<br /><br />\[ \int t^2 \, dt = \frac{t^3}{3} + C \]<br /><br />Aplicando os limites de integração de 0 a \( 2\pi \):<br /><br />\[ \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{0}^{2\pi} = \frac{(2\pi)^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8\pi^3}{3} \]<br /><br />Para a segunda integral:<br /><br />\[ \int_{0}^{2\pi} 1 \, dt \]<br /><br />A integral de uma constante é simplesmente a constante multiplicada pelo intervalo de integração:<br /><br />\[ \int 1 \, dt = t \]<br /><br />Aplicando os limites de integração de 0 a \( 2\pi \):<br /><br />\[ \left[ t \right]_{0}^{2\pi} = 2\pi - 0 = 2\pi \]<br /><br />Agora, somamos os resultados das duas integrais:<br /><br />\[ \frac{8\pi^3}{3} + 2\pi \]<br /><br />Portanto, a resposta final é:<br /><br />\[ \boxed{\frac{8\pi^3}{3} + 2\pi} \]