Exercício 1 (Matemática) Sejam A e B subconjuntos de Sneq emptyset . Verifique que a) (Acap B^c)cup B=Acup B

Para verificar que $(A\cap B^{c})\cup B=A\cup B$, vamos analisar cada lado da igualdade.<br /><br />Lado esquerdo: $(A\cap B^{c})\cup B$<br /><br />- $A\cap B^{c}$ representa a interseção entre o conjunto A e o complemento de B em relação a S.<br />- $(A\cap B^{c})\cup B$ representa a união entre o resultado da interseção anterior e o conjunto B.<br /><br />Lado direito: $A\cup B$<br /><br />- $A\cup B$ representa a união entre os conjuntos A e B.<br /><br />Para verificar a igualdade, vamos mostrar que cada elemento do lado esquerdo também está presente no lado direito, e vice-versa.<br /><br />1. Se $x\in (A\cap B^{c})\cup B$, então $x\in A\cap B^{c}$ ou $x\in B$. Se $x\in A\cap B^{c}$, então $x\in A$ e $x\notin B$, o que implica que $x\in A$ e $x\in B$. Portanto, $x\in A\cup B$. Se $x\in B$, então $x\in A\cup B$. Portanto, $(A\cap B^{c})\cup B\subseteq A\cup B$.<br /><br />2. Se $x\in A\cup B$, então $x\in A$ ou $x\in B$. Se $x\in A$, então $x\in A\cap B^{c}$, pois $x\notin B$. Portanto, $x\in (A\cap B^{c})\cup B$. Se $x\in B$, então $x\in (A\cap B^{c})\cup B$. Portanto, $A\cup B\subseteq (A\cap B^{c})\cup B$.<br /><br />Portanto, concluímos que $(A\cap B^{c})\cup B=A\cup B$.