sum_(n=1)^infty (1)/(2 n^frac(2)(5)-5 n)

Para determinar se a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n^{\frac{8}{5}}-5 n} \) é convergente ou divergente, podemos usar o teste de comparação.<br /><br />Primeiro, vamos comparar a série com uma série conhecida que tem o mesmo comportamento assintótico. Uma série que tem comportamento assintótico semelhante é \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{8}{5}}} \).<br /><br />Podemos verificar se a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n^{\frac{8}{5}}-5 n} \) é menor que ou maior que a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{8}{5}}} \) para todos os \( n \) grandes.<br /><br />Para isso, vamos calcular a razão \( \frac{a_n}{b_n} \), onde \( a_n = \frac{1}{2 n^{\frac{8}{5}}-5 n} \) e \( b_n = \frac{1}{n^{\frac{8}{5}}} \).<br /><br />\( \frac{a_n}{b_n} = \frac{1}{2 n^{\frac{8}{5}}-5 n} \cdot \frac{n^{\frac{8}{5}}}{1} = \frac{n^{\frac{8}{5}}}{2 n^{\frac{8}{5}}-5 n} \).<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\( \frac{n^{\frac{8}{5}}}{2 n^{\frac{8}{5}}-5 n} = \frac{1}{2 - \frac{5}{n^{\frac{8}{5}}}} \).<br /><br />Para \( n \) grande, \( \frac{5}{n^{\frac{8}{5}}} \) se torna muito pequeno, então podemos aproximar a razão pela seguinte forma:<br /><br />\( \frac{1}{2 - \frac{5}{n^{\frac{8}{5}}}} \approx \frac{1}{2} \).<br /><br />Como \( \frac{1}{2} < 1 \), podemos concluir que \( \frac{a_n}{b_n} < 1 \) para todos os \( n \) grandes.<br /><br />Portanto, podemos usar o teste de comparação para concluir que a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n^{\frac{8}{5}}-5 n} \) é convergente, pois é menor que a série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{8}{5}}} \), que é conhecida como convergente.