15. Encontre a soma dos possíveis valores de p que satisfazem as igualdades: a (} 15 p+3 ) b) (} 11 p+2 ) c) (} 14 p+6 ) d) (} 45 p+15 )

Para resolver essas igualdades, precisamos encontrar os valores de \( p \) que tornam as expressões dentro dos parênteses iguais.<br /><br />a) \(\binom{15}{p+3} = \binom{15}{2p}\)<br /><br />Para que essas duas combinações binomiais sejam iguais, os argumentos internos devem ser iguais ou múltiplos um do outro. Assim, temos duas possibilidades:<br />1. \( p + 3 = 2p \)<br />2. \( p + 3 = 2 \times (p + 3) \)<br /><br />Resolvendo a primeira possibilidade:<br />\[ p + 3 = 2p \]<br />\[ 3 = p \]<br /><br />Resolvendo a segunda possibilidade:<br />\[ p + 3 = 2(p + 3) \]<br />\[ p + 3 = 2p + 6 \]<br />\[ 3 = p + 3 \]<br />\[ 0 = p \]<br /><br />Portanto, as soluções são \( p = 3 \) e \( p = 0 \).<br /><br />b) \(\binom{11}{p+2} = \binom{11}{2p}\)<br /><br />Para que essas duas combinações binomiais sejam iguais, os argumentos internos devem ser iguais ou múltiplos um do outro. Assim, temos duas possibilidades:<br />1. \( p + 2 = 2p \)<br />2. \( p + 2 = 2 \times (p + 2) \)<br /><br />Resolvendo a primeira possibilidade:<br />\[ p + 2 = 2p \]<br />\[ 2 = p \]<br /><br />Resolvendo a segunda possibilidade:<br />\[ p + 2 = 2(p + 2) \]<br />\[ p + 2 = 2p + 4 \]<br />\[ 2 = p + 2 \]<br />\[ 0 = p \]<br /><br />Portanto, a única solução é \( p = 2 \).<br /><br />c) \(\binom{14}{p+6} = \binom{14}{3p}\)<br /><br />Para que essas duas combinações binomiais sejam iguais, os argumentos internos devem ser iguais ou múltiplos um do outro. Assim, temos duas possibilidades:<br />1. \( p + 6 = 3p \)<br />2. \( p + 6 = 3 \times (p + 6) \)<br /><br />Resolvendo a primeira possibilidade:<br />\[ p + 6 = 3p \]<br />\[ 6 = 2p \]<br />\[ 3 = p \]<br /><br />Resolvendo a segunda possibilidade:<br />\[ p + 6 = 3(p + 6) \]<br />\[ p + 6 = 3p + 18 \]<br />\[ 6 = 2p + 12 \]<br />\[ -6 = 2p \]<br />\[ -3 = p \]<br /><br />Portanto, as soluções são \( p = 3 \) e \( p = -3 \).<br /><br />d) \(\binom{45}{p+15} = \binom{45}{4p}\)<br /><br />Para que essas duas combinações binomiais sejam iguais, os argumentos internos devem ser iguais ou múltiplos um do outro. Assim, temos duas possibilidades:<br />1. \( p + 15 = 4p \)<br /> \( p + 15 = 4 \times (p + 15) \)<br /><br />Resolvendo a primeira possibilidade:<br />\[ p + 15 = 4p \]<br />\[ 15 = 3p \]<br />\[ 5 = p \]<br /><br />Resolvendo a segunda possibilidade:<br />\[ p + 15 = 4(p + 15) \]<br />\[ 15 = 4p + 60 \]<br />\[ 15 = 3p + 45 \]<br />\[ -30 = 3p \]<br />\[ -10 = p \]<br /><br />Portanto, as soluções são \( p = 5 \) e \( p = -10 \).<br /><br />Resumindo, as soluções para cada item são:<br />a) \( p = 3 \) e \( p = 0 \)<br />b) \( p = 2 \)<br />c) \( p = 3 \) e \( p = -3 \)<br />d) \( p = 5 \) e \( p = -10 \)