4- Durante quanto tempo devo apticar um capitai de R 40.000,00 , a 20% a.a., para obter de juro uma importância igual ao capital aplicado?

Para calcular o tempo necessário para obter juros iguais ao capital aplicado, podemos usar a fórmula do montante composto:<br /><br />\[ M = P \times (1 + i)^t \]<br /><br />Onde:<br />- \( M \) é o montante final (capital + juros)<br />- \( P \) é o capital inicial<br />- \( i \) é a taxa de juros<br />- \( t \) é o tempo em anos<br /><br />Dado que queremos que os juros sejam iguais ao capital aplicado, temos:<br /><br />\[ M = 2 \times P \]<br /><br />Substituindo os valores dados:<br /><br />\[ 2 \times 40.000 = 40.000 \times (1 + 0,20)^t \]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[ 80.000 = 40.000 \times (1,20)^t \]<br /><br />Dividindo ambos os lados por 40.000:<br /><br />\[ 2 = (1,20)^t \]<br /><br />Tomando o logaritmo de ambos os lados:<br /><br />\[ \log(2) = \log((1,20)^t) \]<br /><br />\[ \log(2) = t \times \log(1,20) \]<br /><br />Isolando \( t \):<br /><br />\[ t = \frac{\log(2)}{\log(1,20)} \]<br /><br />Usando logaritmos naturais:<br /><br />\[ t = \frac{\ln(2)}{\ln(1,20)} \]<br /><br />Calculando:<br /><br />\[ t \approx \frac{0,6931}{0,0792} \]<br /><br />\[ t \approx 8,76 \]<br /><br />Portanto, você deve aplicar o capital por aproximadamente 8,76 anos para obter juros iguais ao capital aplicado.