6. Determine o volume do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico z=3y^2-x^2+2e acima do retângulo R=[-1,1]times vert -2,2]

Para determinar o volume do sólido abaixo do paraboloide hiperbólico \( z = 3y^2 - x^2 + 2 \) acima do retângulo \( R = [-1, 1] \times [-2, 2] \), podemos usar integração tripla.<br /><br />Primeiro, vamos definir as coordenadas do sistema de coordenadas cartesianas como \( (x, y, z) \). O parab hiperbólico é dado por \( z = 3y^2 - x^2 + 2 \), e o retângulo \( R \) é dado por \( -1 \leq x \leq 1 \) e \( -2 \leq y \leq 2 \).<br /><br />Agora, vamos calcular o volume do sólido abaixo do paraboloide hiperbólico acima do retângulo \( R \) usando a integral tripla:<br /><br />\[ V = \int_{-2}^{2} \int_{-1}^{1} \int_{3y^2 - x^2 + 2}^{0} dz \, dx \, dy \]<br /><br />A o volume do sólido definido pela região acima do retângulo \( R \) e abaixo do paraboloide hiperbólico. O intervalo de integração para \( z \) é de \( 3y^2 - x^2 + 2 \) a \( 0 \), pois estamos calculando o volume abaixo do paraboloide.<br /><br />Após calcular a integral tripla, obtemos o volume do sólido abaixo do paraboloide hiperbólico acima do retângulo \( R \).