soit ( (e. ) l'ensemble des points M(x, y) du plan vérifiant l'équation (e): x^2+y^2+4 x-2 y-4=0 1) Montrer que (e) est le cercle de centre r(-2,1) et de rayon R=3 (1) 2) Donner laverésentation paramétrique du cercle ( .varepsilon_( () ))) (1) 3)-allontrerque l'équation cartesienne de la droite (O) persant. par A(-2,4) et dont le vecteur normal est bar(n)(1,-1) est (1) b- Calculer n-y+6=0 (2) c- Déterminer (1) n(k) (1) 4-a) Montrer que le point E(1,1) in(6) (2) b) Déterminer l'équation catésienne de la droite (Delta) tangente á ( k ) au point E .

1) Pour montrer que (e) est le cercle de centre \( r(-2,1) \) et de rayon \( R=3 \), nous devons réécrire l'équation (e) sous la forme canonique d'une équation de cercle. En complétant le carré, nous obtenons :<br /><br />\( (x+2)^2 + (y-1)^2 = 9 \)<br /><br />Cela nous montre que le cercle a un centre à \( r(-2,1) \) et un rayon de \( R=3 \).<br /><br />2) La représentation paramétrique du cercle (e) peut être obtenue en utilisant les coordonnées du centre et le rayon. La représentation paramétrique est donnée par :<br /><br />\( x = -2 + 3 \cos(\theta) \)<br />\( y = 1 + 3 \sin(\theta) \)<br /><br />où \( \theta \) est un paramètre qui varie de \( 0 \) à \( 2\pi \).<br /><br />3) Pour déterminer l'équation cartésienne de la droite (O) passant par \( A(-2,4) \) et dont le vecteur normal est \( \bar{n}(1,-1) \), nous utilisons la forme point-vecteur de l'équation d'une droite. L'équation est donnée par :<br /><br />\( (x+2) - (y-4) = 0 \)<br /><br />En simplifiant, nous obtenons l'équation cartésienne de la droite (O) :<br /><br />\( x - y + 6 = 0 \)<br /><br />4-a) Pour montrer que le point \( E(1,1) \) appartient au cercle (e), nous substituons les coordonnées de \( E \) dans l'équation (e) et vérifions si l'équation est satisfaite. En substituant \( x = 1 \) et \( y = 1 \) dans l'équation (e), nous obtenons :<br /><br />\( 1^2 + 1^2 + 4(1) - 2(1) - 4 = 0 \)<br /><br />En simplifiant, nous obtenons \( 0 = 0 \), ce qui confirme que le point \( E(1,1) \) appartient au cercle (e).<br /><br />4-b) Pour déterminer l'équation cartésienne de la droite \( (\Delta) \) tangente au cercle (e) au point \( E(1,1) \), nous utilisons le fait que la droite tangente au cercle est perpendiculaire à la droite passant par le centre du cercle et le point donné. La droite passant par le centre \( r(-2,1) \) et le point \( E(1,1) \) a pour vecteur directeur \( \bar{v} = (3,-1) \). La droite tangente \( (\Delta) \) aura donc pour vecteur directeur \( \bar{n} = (-1,3) \). En utilisant la forme point-vecteur de l'équation d'une droite, nous obtenons l'équation cartésienne de la droite \( (\Delta) \) :<br /><br />\( (x-1) - 3(y-1) = 0 \)<br /><br />En simplifiant, nous obtenons l'équation cartésienne de la droite \( (\Delta) \) :<br /><br />\( x - 3y + 2 = 0 \)