cálculo de integrais em regioes do tipo circular pode ser feito por meio das coordenadas polares. Assim faz-se necessário fazer corretamente a mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. Deseja-se calcular a integral da função f(x,y)=(x^2+y^2) sobre a região D limitada por 0leqslant rleqslant 2,0leqslant Theta leqslant 2pi . Assinale a alternativa que contém o resultado da integral apresentada. A. -8pi B. 4pi 10pi 6pi 2pi

Para calcular a integral da função \( f(x, y) = (x^2 + y^2) \) sobre a região \( D \) limitada por \( 0 \leq r \leq 2 \) e \( 0 \leq \Theta \leq 2\pi \), podemos usar as coordenadas polares.<br /><br />Primeiro, vamos fazer a mudança de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. As coordenadas polares são dadas por:<br /><br />\( x = r \cos(\Theta) \)<br />\( y = r \sin(\Theta) \)<br /><br />Substituindo essas expressões na função \( f(x, y) \), temos:<br /><br />\( f(r, \Theta) = (r \cos(\Theta))^2 + (r \sin(\Theta))^2 \)<br />\( f(r, \Theta) = r^2 \cos^2(\Theta) + r^2 \sin^2(\Theta) \)<br />\( f(r, \Theta) = r^2 (\cos^2(\Theta) + \sin^2(\Theta)) \)<br />\( f(r, \Theta) = r^2 \)<br /><br />Agora, podemos calcular a integral usando as coordenadas polares:<br /><br />\( \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} r^2 \, dr \, d\Theta \)<br /><br />Primeiro, integramos em relação a \( r \):<br /><br />\( \int_{0}^{2} r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{8}{3} \)<br /><br />Agora, integramos em relação a \( \Theta \):<br /><br />\( \int_{0}^{2\pi} \frac{8}{3} \, d\Theta = \frac{8}{3} \cdot 2\pi = \frac{16\pi}{3} \)<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />B. \( \frac{16\pi}{3} \)