2) Qual o valor de y, para que esteja determinado o seguinte sistema de 3 equações: ) 3x+4y-z=1 4x+5y+2z=12 x-2y+3z=8

Para determinar o valor de y no sistema de equações dado, podemos usar o método de eliminação ou substituição. Vamos usar o método de eliminação.<br /><br />Primeiro, vamos eliminar o termo x da segunda e da terceira equação. Para isso, vamos multiplicar a primeira equação por 4 e subtrair da segunda equação:<br /><br />$\begin{aligned} 4(3x+4y-z) &= 4(1) \\ 12x+16y-4z &= 4 \\ 4x+5y+2z &= 12 \\ (12x+16y-4z)-(4x+5y+2z) &= 4-12 \\ 8x+11y-6z &= -8 \end{aligned}$<br /><br />Agora, vamos multiplicar a primeira equação por 1/3 e subtrair da terceira equação:<br /><br />$\begin{aligned} \frac{1}{3}(3x+4y-z) &= \frac{1}{3}(1) \\ x+\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}z &= \frac{1}{3} \\ x-2y+3z &= 8 \\ (x+\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}z)-(x-2y+3z) &= \frac{1}{3}-8 \\ -\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}z &= -\frac{23}{3} \end{aligned}$<br /><br />Agora, vamos multiplicar a primeira equação por 1/3 e subtrair da terceira equação:<br /><br />$\begin{aligned} \frac{1}{3}(3x+4y-z) &= \frac{1}{3}(1) \\ x+\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}z &= \frac{1}{3} \\ x-2y+3z &= 8 \\ (x+\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}z)-(x-2y+3z) &= \frac{1}{3}-8 \\ -\frac{5}{3}y+\frac{8}{3}z &= -\frac{23}{3} \end{aligned}$<br /><br />Agora, vamos multiplicar a segunda equação por 3 e a terceira equação por 4 para eliminar o termo y:<br /><br />$\begin{aligned} 3(4x+5y+2z) &= 3(12) \\ 12x+15y+6z &= 36 \\ 4(x-2y+3z) &= 4(8) \\ 4x-8y+12z &= 32 \\ (12x+15y+6z)-(4x-8y+12z) &= 36-32 \\ 8x+23y-6z &= 4 \end{aligned}$<br /><br />Agora, vamos substituir o valor de x encontrado na primeira equação para encontrar o valor de y:<br /><br />$\begin{aligned} 8x+23y-6z &= 4 \\ 8(\frac{1}{3}-\frac{4}{3}y+\frac{1}{3}z) + 23y-6z &= 4 \\ \frac{8}{3}-\frac{32}{3}y+\frac{8}{3}z + 23y-6z &= 4 \\ \frac{8}{3}-\frac{32}{3}y+\frac{8}{3}z + \frac{69}{3}y-\frac{18}{3}z &= 4 \\ \frac{37}{3}y-\frac{10}{3}z &= 4-\frac{8}{3} \\ \frac{37}{3}y-\frac{10}{3}z &= \frac{4}{3} \\ 37y-10z &= 4 \\ 37y &= 10z+4 \\ y &= \frac{10z+4}{37} \end{aligned}$<br /><br />Portanto, o valor de y é dado por $y = \frac{10z+4}{37}$.