7]Usando o vetor gradiente da função , no ponto P(0,1,2) . Calcule a taxe de áo f(x,y,z)=x^2y^2z^2+senx

Para calcular a taxa de variação da função \( f(x, y, z) = x^2 y^2 z^2 + \sin(x) \) no ponto \( P(0,1,2) \), precisamos calcular o gradiente da função nesse ponto.<br /><br />O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e possui o valor da derivada em cada ponto.<br /><br />Para calcular o gradiente, precisamos calcular as derivadas parciais da função em relação a cada variável.<br /><br />Derivando a função em relação a \( x \), obtemos:<br />\( \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy^2z^2 + \cos(x) \)<br /><br />Derivando a função em relação a \( y \), obtemos:<br />\( \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^2y^2z^2 \)<br /><br />Derivando a função em relação a \( z \), obtemos:<br />\( \frac{\partial f}{\partial z} = 4x^2y^2z \)<br /><br />Agora, substituindo as coordenadas do ponto \( P(0,1,2) \) nas derivadas parciais, temos:<br /><br />\( \frac{\partial f}{\partial x} = 2(0)(1)^2(2)^2 + \cos(0) = 0 + 1 = 1 \)<br /><br />\( \frac{\partial f}{\partial y} = 2(0)^2(1)^2(2)^2 = 0 \)<br /><br />\( \frac{\partial f}{\partial z} = 4(0)^2(1)^2(2) = 0 \)<br /><br />Portanto, o gradiente da função no ponto \( P(0,1,2) \) é \( \vec{\nabla}f = (1, 0, 0) \).<br /><br />A taxa de variação da função no ponto \( P(0,1,2) \) é igual ao valor do gradiente nesse ponto, que é \( \vec{\nabla}f = (1, 0, 0) \).