Seja T:R^3arrow R^3 uma transformação linear tal que T(x,y,z)=(z,x-y_(1)-z) . Dentre as alternativas abaixo, assinale o que for correto. Escolha uma ou mais: Té injetora Té sobrejetora. dim(N(T))=1edim(lm(T))=2 Uma base para N(T') é dada por (1,1,0)

Vamos analisar cada uma das alternativas para determinar quais são corretas.<br /><br />1. **Té injetora**: Uma transformação linear \( T \) é injetora se o seu núcleo \( N(T) \) é trivial, ou seja, \( N(T) = \{ (0,0,0) \} \).<br /><br /> Para encontrar o núcleo de \( T \), resolvemos \( T(x, y, z) = (0, 0, 0) \):<br /> \[<br /> T(x, y, z) = (z, x - y - z) = (0, 0, 0)<br /> \]<br /> Isso implica que:<br /> \[<br /> z = 0 \quad \text{e} \quad x - y - z = 0<br /> \]<br /> Como \( z = 0 \), a segunda equação se torna \( x - y = 0 \), ou seja, \( x = y \). Portanto, o núcleo de \( T \) é:<br /> \[<br /> N(T) = \{ (x, x, 0) \mid x \in \mathbb{R} \}<br /> \]<br /> O núcleo não é trivial, então \( T \) não é injetora.<br /><br />2. **Té sobrejetora**: Uma transformação linear \( T \) é sobrejetora se o seu imagem \( \text{Im}(T) \) é igual ao espaço de destino \( \mathbb{R}^3 \).<br /><br /> Para encontrar a imagem de \( T \), consideramos todos os vetores \( (a, b, c) \) que podem ser escritos como \( T(x, y, z) \):<br /> \[<br /> T(x, y, z) = (z, x - y - z)<br /> \]<br /> Para que \( (a, b, c) \) esteja na imagem de \( T \), deve existir algum \( (x, y, z) \) tal que:<br /> \[<br /> (z, x - y - z) = (a, b, c)<br /> \]<br /> Isso implica que:<br /> \[<br /> z = a \quad \text{e} \quad x - y - z = b<br /> \]<br /> Substituindo \( z = a \) na segunda equação, temos:<br /> \[<br /> x - y - a = b \quad \Rightarrow \quad x = b + a + y<br /> \]<br /> Portanto, para qualquer \( (a, b, c) \) em \( \mathbb{R}^3 \), existe um \( (x, y, z) \) tal que \( T(x, y, z) = (a, b, c) \). Assim, a imagem de \( T \) é todo \( \mathbb{R}^3 \), e \( T \) é sobrejetora.<br /><br />3. **\( \dim(N(T)) = 1 \) e \( \dim(\text{lm}(T)) = 2 \)**: Já determinamos que \( N(T) = \{ (x, x, 0) \mid x \in \mathbb{R} \} \), que é um subespaço de dimensão 1. Portanto, \( \dim(N(T)) = 1 \).<br /><br /> Já vimos que a imagem de \( T \) é todo \( \mathbb{R}^3 \), então \( \dim(\text{lm}(T)) = 3 \). Portanto, esta afirmação está incorreta.<br /><br />4. **Uma base para \( N(T') \) é dada por \( \{ (1, 1, 0) \} \)**: \( T' \) é a transformação adjunta de \( T \). Para encontrar \( N(T') \), consideramos o núcleo de \( T \), que é \( \{ (x, x, 0) \mid x \in \mathbb{R} \} \). Uma base para este núcleo é \( \{ (1, 1, 0) \} \).<br /><br />Portanto, as alternativas corretas são:<br /><br />- Té sobrejetora<br />- Uma base para \( N(T') \) é dada por \( \{ (1, 1, 0) \} \)