Considere a seguinte situação:um alpinista está escalando um morro cujo formato é descrito pela função de duas variáveis reais dada por f(x,y)=200-0,04x^2-0,04y^2 na qual x e y são medidos em metros Esse indivíduo inicia a sua subida a partir do ponto P(20,10) seguindo a direção sudoeste a qual pode ser descrita por meio da direção indicada pelo vetor unitário v=(-sqrt (2)/2,-sqrt (2)/2) Qual das seguintes alternativas indica a taxa de variação aproximada da distância percorrida pelo alpinista na subida do morro considerando a direção dada pelo vetor v? A. 2,2. B. square -0,6 -1,7 1,7

Para determinar a taxa de variação aproximada da distância percorrida pelo alpinista na subida do morro, precisamos calcular a derivada parcial da função \( f(x, y) \) em relação à direção indicada pelo vetor unitário \( \vec{v} \).<br /><br />A função dada é \( f(x, y) = 200 - 0,04x^2 - 0,04y^2 \).<br /><br />Primeiro, calculamos as derivadas parciais de \( f \) em relação a \( x \) e \( y \):<br /><br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial x} = -0,08x<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{\partial f}{\partial y} = -0,08y<br />\]<br /><br />Em seguida, calculamos o produto escalar das derivadas parciais com o vetor unitário \( \vec{v} = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \):<br /><br />\[<br />D_{\vec{v}}f = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \vec{v} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \vec{v}<br />\]<br /><br />Substituindo os valores das derivadas parciais e do vetor \( \vec{v} \):<br /><br />\[<br />D_{\vec{v}}f = (-0,08x) \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + (-0,08y) \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)<br />\]<br /><br />\[<br />D_{\vec{v}}f = 0,04x\sqrt{2} + 0,04y\sqrt{2}<br />\]<br /><br />\[<br />D_{\vec{v}}f = 0,04\sqrt{2}(x + y)<br />\]<br /><br />Agora, substituímos os valores de \( x = 20 \) e \( y = 10 \):<br /><br />\[<br />D_{\vec{v}}f = 0,04\sqrt{2}(20 + 10)<br />\]<br /><br />\[<br />D_{\vec{v}}f = 0,04\sqrt{2}(30)<br />\]<br /><br />\[<br />D_{\vec{v}}f = 1,2\sqrt{2}<br />\]<br /><br />\[<br />D_{\vec{v}}f \approx 1,7<br />\]<br /><br />Portanto, a taxa de variação aproximada da distância percorrida pelo alpinista na subida do morro, considerando a direção dada pelo vetor \( \vec{v} \), é \( 1,7 \).<br /><br />A resposta correta é:<br /><br />D. 1,7