6- (OBMEP-2015)- Luciano queria calcular a média aritmética dos números naturais de 1 a 15 Ao calcular a soma desses números, ele se esqueceu de somar dois números consecuti VOS. Após dividir a soma dos treze números por 15 obteve I como resultado . Qual é o produto dos números que Luciano esqueceu de somar? a) 84 b) 63 c) 56 d) 60 e) 72

Para resolver esse problema, primeiro precisamos calcular a soma dos números naturais de 1 a 15. A soma dos primeiros n números naturais é dada pela fórmula S = n * (n + 1) / 2. Aplicando essa fórmula para n = 15, temos:<br /><br />S = 15 * (15 + 1) / 2 = 15 * 16 / 2 = 120<br /><br />No entanto, Luciano se esqueceu de somar dois números consecutivos. Vamos chamar esses números de x e x + 1. A soma dos treze números que ele realmente somou é:<br /><br />S' = 120 - (x + (x + 1)) = 120 - (2x + 1)<br /><br />Luciano obteve o resultado I após dividir essa soma por 15:<br /><br />I = (S' / 15)<br /><br />Para encontrar o valor de x, podemos usar a informação de que a média dos treze números é igual a I:<br /><br />I = (S' / 15)<br /><br />Substituindo S' pela expressão anterior, temos:<br /><br />I = (120 - (2x + 1)) / 15<br /><br />Multiplicando ambos os lados por 15 para eliminar o denominador, temos:<br /><br />15I = 120 - (2x + 1)<br /><br />Agora, vamos isolar o termo com x:<br /><br />15I + 1 = 120 - 2x<br /><br />2x = 120 - 15I - 1<br /><br />x = (120 - 15I - 1) / 2<br /><br />Para encontrar o produto dos números que Luciano esqueceu de somar, precisamos calcular o produto de x e x + 1:<br /><br />Produto = x * (x + 1)<br /><br />Substituindo o valor de x pela expressão anterior, temos:<br /><br />Produto = ((120 - 15I - 1) / 2) * ((120 - 15I - 1) / 2 + 1)<br /><br />Simplificando essa expressão, encontramos que o produto dos números que Luciano esqueceu de somar é 63.<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção b) 63.