13) Seja overrightarrow (a)= overrightarrow (u),overrightarrow (v),overrightarrow (w)) uma base de alpha V^3 Determinar, em função de alpha as coordenadas de W em rela. base de V^3 qualquer que seja Demonstrar que overrightarrow (y)= overrightarrow (u),alpha overrightarrow (v)+overrightarrow (w),alpha overrightarrow (u)+overrightarrow (v)) é também uma ção à base ji

Para determinar as coordenadas de W em relação à base de V^3, precisamos expressar W como uma combinação linear de u, v e w. No entanto, a questão não fornece informações suficientes para determinar essas coordenadas em função de α.<br /><br />Para demonstrar que o conjunto de vetores $\overrightarrow{y}=\{ \overrightarrow{u},\alpha \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w},\alpha \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\}$ também forma uma base para V^3, precisamos mostrar que eles são linearmente independentes e que spanam V^3.<br /><br />Podemos observar que o vetor $\overrightarrow{u}$ já está presente na base original. Portanto, precisamos verificar se os vetores $\alpha \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}$ e $\alpha \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ são linearmente independentes entre si e se eles spanam V^3.<br /><br />Para isso, precisamos calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, então os vetores serão linearmente independentes.<br /><br />A matriz será:<br /><br />$\begin{bmatrix}<br />1 & \alpha & \alpha \\<br />0 & 1 & 1 \\<br />0 & 0 & 1<br />\end{bmatrix}$<br /><br />Calculando o determinante dessa matriz, temos:<br /><br />$\text{det} = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) = 0$<br /><br />Como o determinante é zero, isso significa que os vetores $\alpha \overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}$ e $\alpha \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ não são linearmente independentes. Portanto, o conjunto de vetores $\overrightarrow{y}$ não forma uma base para V^3.