7. int _(-3)^3int _(0)^pi /2(y+y^2cosx)dxdy

Para resolver a integral dupla dada, vamos primeiro integrar em relação a \(x\) e depois em relação a \(y\).<br /><br />A integral é:<br /><br />\[ \int_{-3}^{3} \int_{0}^{\pi/2} (y + y^2 \cos x) \, dx \, dy \]<br /><br />Primeiro, integramos em relação a \(x\):<br /><br />\[ \int_{0}^{\pi/2} (y + y^2 \cos x) \, dx \]<br /><br />Podemos separar a integral em duas partes:<br /><br />\[ \int_{0}^{\pi/2} y \, dx + \int_{0}^{\pi/2} y^2 \cos x \, dx \]<br /><br />A primeira integral é simples:<br /><br />\[ \int_{0}^{\pi/2} y \, dx = y \cdot x \Big|_{0}^{\pi/2} = y \cdot \frac{\pi}{2} \]<br /><br />A segunda integral também é simples:<br /><br />\[ \int_{0}^{\pi/2} y^2 \cos x \, dx = y^2 \cdot \sin x \Big|_{0}^{\pi/2} = y^2 \cdot 1 = y^2 \]<br /><br />Portanto, a integral em relação a \(x\) é:<br /><br />\[ \int_{0}^{\pi/2} (y + y^2 \cos x) \, dx = y \cdot \frac{\pi}{2} + y^2 \]<br /><br />Agora, integramos em relação a \(y\):<br /><br />\[ \int_{-3}^{3} \left( y \cdot \frac{\pi}{2} + y^2 \right) \, dy \]<br /><br />Podemos separar a integral em duas partes novamente:<br /><br />\[ \int_{-3}^{3} y \cdot \frac{\pi}{2} \, dy + \int_{-3}^{3} y^2 \, dy \]<br /><br />A primeira integral é:<br /><br />\[ \frac{\pi}{2} \int_{-3}^{3} y \, dy = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{y^2}{2} \Big|_{-3}^{3} = \frac{\pi}{4} \cdot (3^2 - (-3)^2) = \frac{\pi}{4} \cdot 18 = \frac{9\pi}{2} \]<br /><br />A segunda integral é:<br /><br />\[ \int_{-3}^{3} y^2 \, dy = \frac{y^3}{3} \Big|_{-3}^{3} = \frac{3^3}{3} - \frac{(-3)^3}{3} = \frac{27}{3} - \frac{-27}{3} = 9 + 9 = 18 \]<br /><br />Portanto, a integral dupla é:<br /><br />\[ \frac{9\pi}{2} + 18 \]<br /><br />Então, a resposta é:<br /><br />\[ \boxed{\frac{9\pi}{2} + 18} \]