Ie as seis questões da avaliação. 1 (2.0 pontos)Resolva as equações homogêneas de segunda ordem: square b) y''+y'+(1)/(4)y=0

Para resolver a equação homogênea de segunda ordem dada, podemos usar o método da característica. A equação característica associada a essa equação é:<br /><br />$m^2 + m + \frac{1}{4} = 0$<br /><br />Para encontrar as raízes dessa equação, podemos usar a fórmula de Bhaskara:<br /><br />$m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$<br /><br />Nesse caso, temos $a = 1$, $b = 1$ e $c = \frac{1}{4}$. Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:<br /><br />$m = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4}}}{2 \cdot 1}$<br /><br />Simplificando a expressão dentro da raiz, temos:<br /><br />$m = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 1}}{2}$<br /><br />$m = \frac{-1 \pm \sqrt{0}}{2}$<br /><br />$m = \frac{-1 \pm 0}{2}$<br /><br />$m = \frac{-1}{2}$<br /><br />Portanto, a equação característica tem uma raiz dupla em $m = -\frac{1}{2}$. Agora, podemos escrever a solução geral da equação homogênea de segunda ordem usando a forma geral da solução para uma raiz dupla:<br /><br />$y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-\frac{1}{2}x}$<br /><br />onde $C_1$ e $C_2$ são constantes arbitrárias.<br /><br />Portanto, a solução geral da equação homogênea de segunda ordem dada é:<br /><br />$y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-\frac{1}{2}x}$