13. Um cilindro reto tem área lateral de 30pi cm^2 e drea total de 80pi cm^2 . Determine seu volume. 75pi cm^3

Para determinar o volume do cilindro, podemos usar a fórmula:<br /><br />\[ V = \pi r^2 h \]<br /><br />Onde \( r \) é o raio da base do cilindro e \( h \) é a altura do cilindro.<br /><br />Sabemos que a área lateral do cilindro é \( 30\pi \, cm^2 \) e a área total é \( 80\pi \, cm^2 \).<br /><br />A área lateral é dada por:<br /><br />\[ A_l = 2\pi rh \]<br /><br />E a área total é dada por:<br /><br />\[ A_t = 2\pi r (r + h) \]<br /><br />Substituindo os valores conhecidos:<br /><br />\[ 2\pi rh = 30\pi \]<br />\[ 2\pi r (r + h) = 80\pi \]<br /><br />Dividindo a primeira equação pela segunda:<br /><br />\[ \frac{2\pi rh}{2\pi r (r + h)} = \frac{30\pi}{80\pi} \]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[ \frac{h}{r + h} = \frac{30}{80} \]<br /><br />\[ \frac{h}{r + h} = \frac{3}{8} \]<br /><br />Multiplicando ambos os lados por \( r + h \):<br /><br />\[ h = \frac{3}{8} (r + h) \]<br /><br />\[ 8h = 3r + 3h \]<br /><br />\[ 5h = 3r \]<br /><br />\[ r = \frac{5h}{3} \]<br /><br />Substituindo \( r \) na fórmula do volume:<br /><br />\[ V = \pi \left(\frac{5h}{3}\right)^2 h \]<br /><br />\[ V = \pi \left(\frac{25h^2}{9}\right) h \]<br /><br />\[ V = \pi \frac{25h^3}{9} \]<br /><br />Portanto, o volume do cilindro é \( \frac{25\pi h^3}{9} \, cm^3 \).