4. Determine o núcleo e aimagem da aplicação linear T:R^3arrow R^2 definida por T(x,y,z)=(x-y,y-z)

Para determinar o núcleo e a imagem da aplicação linear \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) definida por \( T(x, y, z) = (x - y, y - z) \), vamos seguir os passos:<br /><br />### Núcleo de \( T \)<br /><br />O núcleo de \( T \), denotado por \( \ker(T) \), é o conjunto de todos os vetores \( (x, y, z) \) em \( \mathbb{R}^3 \) que são mapeados para o vetor nulo \( (0, 0) \) sob \( T \). Ou seja, precisamos resolver a equação:<br /><br />\[ T(x, y, z) = (0, 0) \]<br /><br />Isso significa que:<br /><br />\[ (x - y, y - z) = (0, 0) \]<br /><br />Resolvendo as equações:<br /><br />1. \( x - y = 0 \) \(\Rightarrow x = y \)<br />2. \( y - z = 0 \) \(\Rightarrow y = z \)<br /><br />Portanto, \( x = y = z \). Isso implica que o núcleo de \( T \) é gerado pelo vetor \( (1, 1, 1) \). Assim, o núcleo de \( T \) é:<br /><br />\[ \ker(T) = \text{span}\{(1, 1, 1)\} \]<br /><br />### Imagem de \( T \)<br /><br />A imagem de \( T \), denotada por \( \text{Im}(T) \), é o conjunto de todos os vetores \( (u, v) \) em \( \mathbb{R}^2 \) que podem ser obtidos como \( T(x, y, z) \) para algum \( (x, y, z) \) em \( \mathbb{R}^3 \). Para encontrar a imagem, consideramos as combinações lineares dos vetores resultantes de \( T \):<br /><br />\[ T(x, y, z) = (x - y, y - z) \]<br /><br />Podemos expressar \( (x - y, y - z) \) como uma combinação linear de vetores resultantes de \( T \):<br /><br />\[ (x - y, y - z) = a(x_1 - y_1, y_1 - z_1) + b(x_2 - y_2, y_2 - z_2) + c(x_3 - y_3, y_3 - z_3) \]<br /><br />onde \( (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), (x_3, y_3, z_3) \) são vetores de \( \mathbb{R}^3 \) e \( a, b, c \) são escalares.<br /><br />Isso implica que a imagem de \( T \) é o espaço gerado por vetores resultantes de \( T \). Considerando que \( T \) é linear e que \( T \) mapeia \( \mathbb{R}^3 \) para \( \mathbb{R}^2 \), a imagem de \( T \) cobre todo o plano \( \mathbb{R}^2 \).<br /><br />Portanto, a imagem de \( T \) é:<br /><br />\[ \text{Im}(T) = \mathbb{R}^2 \]<br /><br />### Resumo<br /><br />- O núcleo de \( T \) é o subespaço gerado por \( (1, 1, 1) \).<br />- A imagem de \( T \) é todo o plano \( \mathbb{R}^2 \).<br /><br />Assim, temos:<br /><br />\[ \ker(T) = \text{span}\{(1, 1, 1)\} \]<br />\[ \text{Im}(T) = \mathbb{R}^2 \]